Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/6

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску
Точки и касательные, общие для двух кривых. —
Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 6.

автор Луиджи Кремона
См. Оглавление. Дата создания: 1862. Источник: Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1914. T. 1. Pag. 317-465.


32. В скольких точках пересекаются две кривые порядков и соответственно? Допуская, как очевидный принцип, что число пересечений зависит только от чисел , видим, что это число не изменится, если заменить данные кривые другими местами тех же порядков. Если заметить кривую порядка на прямых, они будут пересекать кривую порядка в точках; поэтому: две кривые порядков пересекаются в точках (вещественных, мнимых, различных или совпадающих). [1]

Говорят, что две кривые имеют двух-, трех-, … точечное пересечение, если две, три, … следующие друг за другом точки являются общими для этих кривых, а следовательно, общими являются [одна], две, … касательные.

Если через точку проходит дуг одной кривой и дуг другой, то эта точка рассматривается как пересечение каждой из дуг первой кривой с каждой дугой второй кривой, поэтому она эквивалента совпадающим точкам пересечения. Если же одна из дуг первой кривой и одна из дуг второй имеют в общую касательную, то они имеют здесь две общие точки, и поэтому эквивалентна точкам пересечения. В общем случае, если в две кривые имеют общих касательных, то точка эквивалентна точкам, общим обеим кривым.

В особом случае, когда касательных к первой кривой и ко второй в точке совпадают с одной единственной прямой , эта прямая, если , представляет общих касательных, и поэтому число собранных в пересечений равно . Но это число будет становиться еще больше всякий раз, когда прямая имеет касание большего порядка с каждой из рассматриваемых линий, то есть когда они пересекают ее более чем в или точках, собранных .

Напр., если бы в точке прямая имела точек, общих с первой кривой, и  — со второй, то точка была бы эквивалентна точкам пересечения двух кривых. Чтобы легко убедиться в этом, рассмотрим систему кривых второго порядка, имеющих общую точку и здесь касающихся одной и той же прямой ; и, кроме того, другую произвольную кривую , имеющую дуг, проходящих через и имеющих здесь общую касательную . В этом случае точка представляет пересечение с каждой из кривых ; и поэтому она эквивалентна точкам, общим кривой и системе, составленной из кривых . [2] Аналогично доказывается, что две кривые классов соответственно, имеют общих касательных. И т.д. [3]

Примечания[править]

  1. В авторском экземпляре здесь имелась пометка: «Этим доказательством заменяется одно из двух, данных Шалем, основанных на принципе соответствия (см.: Comptes rendus, 30 сент. 1872, 20 янв. 1873).» 
  2. В нач. XX века понятие кратности точки пересечения двух кривых вводилось уже иначе — при помощи квадратичного преобразования (см., напр., лекции Севери, гл. 2; it, de). В немецком переводе М. Курце (1865) этот текст воспроизведен без изменения, однако уже в комментариях Сегре (1914) он подвергнут критике, пример же назван ошибочным: «точка не эквивалентна пересечениям, но в общем случае только …» — Перев.
  3. Свойства кривых данного класса получаются из свойств кривых данного порядка и наоборот посредством принципа двойственности, который мы почитаем за первый и абсолютный (итал. primitivo ed assoluto), то есть независящий от какой либо частной теории преобразования фигур. — Прим. авт.