Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/7

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску
Число условий, определяющих кривую данного порядка или данного класса. —
Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 7.

автор Луиджи Кремона
См. Оглавление. Дата создания: 1862. Источник: Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1914. T. 1. Pag. 317-465.


33. Если кривая должна пройти через заданную точку , то она удовлетворяет, очевидно, одному условию.

Проведем через прямую ; если кривая должна также содержать некоторую точку прямой , следующую за точкой , то есть если кривая должна не только проходить через точку , но также касаться здесь прямой , то она удовлетворяет двум условиям.

Проведем через вторую прямую ; если кроме двух следующих друг за другом точек прямой кривая должна содержать еще и точку прямой , следующую за , то она удовлетворяет трем условиям. Но в этом случае, две прямые, проведенные через , пересекали бы здесь кривую два раза, то есть была бы двойной точкой этой кривой (§ 30). Поэтому: если кривая должна иметь двойную точку в , то она удовлетворяет трем условиям.

Если кривая должна иметь в двойную точку (три условия), произвольная прямая , проходящая через , содержит две точки кривой, совпадающие с . Если кривая должна проходить через третью точку, следующую на , то есть если эта прямая должна иметь в три общие точки с кривой, то кривая удовлетворяет еще одному новому условию. Если то же условие наложена и на второй прямой и на третьей (проходящей через ), то кривая удовлетворяет всего шести условиям. Но когда через проходят три прямые, каждая из которых пересекает здесь кривую три раза, это точка является тройной точкой кривой (§ 31); поэтому, если кривая должна иметь в тройную точку, она удовлетворяет шести условиям.

Вообще, пусть  — число условий, выражающих то, что кривая имеет в точку кратности . Любая прямая , проходящая через , имеет здесь точек, общих с кривой. Если кривая должна содержать еще другую следующую за точку на прямой , то есть если прямая должна иметь в точек, общих с кривой, то кривая должна удовлетворять еще одному новому условию. Если то же требуется на других прямых, проходящих через , то кривая удовлетворяет всего условиям. Но когда через точку проходит прямых, имеющих здесь точек, общих с кривой, сама точка является точкой кратности 31); поэтому, если кривая должна иметь в точку кратности , то она удовлетворяет условиям; отсюда .

34. Подсчитаем теперь число условий, полностью определяющих кривую порядка . Если кривая должна иметь заданную точку кратности , то она должна удовлетворять (§ 33) условиям. Но линия порядка , имеющая точку кратности , неизбежно представляет собой систему из прямых, пересекающихся в точке (31); и для того, чтобы эти прямые полностью определить, достаточно задать на каждой из них по одной точке. Поэтому:

Число условий, полностью определяющих кривую порядка равно .[1] [2]

Если задано только условий, то можно выделить бесконечное <число> кривых порядка , им удовлетворяющих, и среди них будет несколько, скажем , проходящих через данную произвольную точку. Вся бесконечная система называется рядом (итал. serie) порядка и индекса (итал. indice) .[3][4]

Напр., касательные к кривой класса образуют серию порядка 1 и индекса .

В общем случае всегда существует линия, которая огибает данный ряд [индекса ], то есть такая линия, в каждой точке которой ее касается некоторая кривая ряда. Все ряды можно образовать непрерывным движением кривой, меняющей и форму, и положение в своем движении таким образом, чтобы все время удовлетворять всем наложенным условиям. Точки, в которых кривая ряда пересекает кривую, следующую за ней в этом ряду, являются также точками касания между первой из этих кривых и оболочкой этого ряда.

35. Только что доказанная теорема (§ 34) дает нам возможность установить следующее:

Простая кривая порядка не может иметь более чем двойных точек (включая точки возвраты).

В самом деле: если бы имелось таких точек на одну больше, то через эти точек и через другие точек той же кривой, то есть всего через точек, было бы возможно провести кривую порядка , которая имела бы с данной линией

точек пересечения, что невозможно, если данная кривая не составлена из линий меньшего порядка.[5]

Примечания[править]

  1. Аналогично, кривая класса полностью определяется заданием условий.
  2. В § 41 особо доказывается, что через такое число точек проходит единственная кривая. Видимо, Кремона считает очевидным, что с наложением новых условий сначала бесконечное число удовлетворяющих им кривых (или элементов какого угодно ряда) становится конечным, а с наложением следующего условия — пустым.
  3. Jonquières, Théorèmes généraux concernant les courbes géométriques planes d'un ordre quelconque (Journal de M. Liouville, [2e sèrie, t. 6] avril 1861, p. 113).
  4. В немецком переводе этот параграфа добавлено след. разъяснение: Напр., для произведения ангармонических отношений
    ,
    где  — три заданные точки на прямой, а  — точки, в которых кривая пересекает эту прямую. Эта величина, которая принимает различные значения для различных кривых одного и того же ряда, известно под названием параметр. Если кривая зависит от иррациональных функций параметра, то различные значения этих функций, скажем значений, определяют столько же кривых, которые соответствуют одному и тому же значению параметра. Группа этих кривых можно рассматривать как место -го порядка, а заданный ряда как — как ряд -го порядка, в котором каждому значению параметра отвечает одна единственная кривая. Такой ряд называют составным относительно кривых -го порядка, и простым относительно групп или кривых -го порядка. Очевидно, что случай составного ряда, с этой точки зрения, может быть сведен к случаю простого ряда. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить только о последних, не обращая внимание на то, являются ли его элементы простыми кривыми или группами кривых.
  5. Plücker, ук. соч., p. 215.