Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/17

Кривые, порождаемые полярами при движении полюса по заданной кривой. —
Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 17.
автор Луиджи Кремона

См. Оглавление. Дата создания: 1862. Источник: Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1914. T. 1. Pag. 317-465.

103. Если точка, рассматриваемая как полюс поляры относительно фундаментальной кривой $C_{n}$, описывает некоторую другую заданную кривую $C_{m}$ порядка $m$, то полярная прямая огибает некоторую кривую $K$, которая, как уже было найдено в § 81, должна иметь класс $m(n-1)$. Касательные, которые можно провести из произвольной точки $o$ к $K$, являются полярными прямыми для $m(n-1)$ точек, в которых кривая $C_{m}$ пересекает поляру $oC_{n}$.

103a. Если $o$ является такой точкой, первая поляра для которой касается кривой $C_{m}$, то две полярные прямые, проходящие через $o$, совпадают, то есть $o$ является точкой кривой $K$ (30)^[1]; поэтому эта кривая является геометрическим местом полюсов, первые поляры для которых касаются $C_{m}$:

$K=o?oC_{n}..C_{m}$.

Это свойство дает нам возможность найти порядок $K$, то есть число точек, в которых кривая $K$ пересекает произвольную прямую $L$. Именно, первые поляры для точек прямой $L$ образуют пучок (§ 77); поэтому, предполагая, что $C_{m}$ имеет $\delta$ двойных точек и $\chi$ точек возврата, имеем $m(m+2n-5)-(2\delta +3\chi )$ точек на прямой $L$, первые поляры для которых являются касательными к $C_{m}$ (87c). Поэтому кривая $K$ имеет порядок $m(m+2n-5)-(2\delta +3\chi )$, [то есть $2m(n-2)+M$, где $M$ — класс кривой $C_{m}$]. ^[2]

Очевидно, что стационарные касательные к кривой $K$ являются полярными прямыми для точек возврата (punti stazionari) кривой $C_{m}$; отсюда следует, что $K$ имеет $\chi$ точек перегиба. ^[3]

Зная порядок и число точек перегиба кривой $K$, по формулам Плюкера (§ 99, 100) можно найти все остальное. Именно, кривая $K$ имеет

${\frac {1}{2}}\left(m(m+2n-5)-(2\delta +3\chi )\right)^{2}-m(5m+6n-21)+10\delta +{\frac {27}{2}}\chi$

двойных точек,

$3m(m+n-4)-(6\delta +8\chi )$

точек возврата и

${\frac {1}{2}}m(n-2)(mn-3)+\delta$

двойных касательных.

103b. Отметим еще, что любая двойная точка кривой $K$ является полюсом для некоторой первой поляры, касающейся $C_{m}$ в двух различных точках ^[4], любая точка возврата кривой $K$ является полюсом некоторой первой поляры, пересекающей кривую $C_{m}$ [в некоторой точке] с кратностью три; и любая двойная касательная кривой $K$ является прямой, имеющей или два различных полюса на кривой $C_{m}$, или два полюса, совпадающих в двойной точке этой кривой.

Поскольку свойства системы первых поляр (относительно $C_{n}$) распространяются на произвольные сети кривых ^[5], то сказанное выше можно сформулировать так:

1.° Число кривых сети кривых порядка $n-1$, пересекающих с кратностью, равной двум заданную линию порядка $m$, имеющую $\delta$ двойных точек, $\chi$ точек возврата, равно

${\frac {1}{2}}\left(m(m+2n-5)-(2\delta +3\chi )\right)^{2}-m(5m+6n-21)+10\delta +{\frac {27}{2}}\chi$.

2.° Число кривых этой же сети, пересекающих указанную кривую порядка $m$ с кратностью, равной трем, равно

$3m(m+n-4)-(6\delta +8\chi )$.^[6]

103c. Каждая точка кривой $K$ является полюсом первой поляры, касающейся $C_{m}$; поэтому, рассматривая пересечения кривых $K$ и $C_{m}$, имеем:

На кривой $C_{m}$ порядка $m$, имеющей $\delta$ двойных точек и $\chi$ точек возврата, имеется $m^{2}(m+2n-5)-m(2\delta +3\chi )$ точек, в которых первые поляры, взятые относительно фундаментальной кривой $C_{n}$, касаются самой кривой $C_{m}$.

При $m=1$ отсюда получается след.:

На произвольной прямой имеется $2(n-2)$ точек, в которых первые поляры, взятые относительно фундаментально кривой $C_{n}$, касаются самой этой прямой.

Если прямая касается $C_{n}$, то в точке касания сливаются два из этих $2(n-2)$ полюсов. Поэтому на касательно к $C_{n}$ существует $2(n-3)$ точек, каждая из которых являются полюсом первой поляры, касающейся в некоторой другой точке указанной прямой.

103d. Если же кривая $C_{m}$ совпадает с кривой $C_{n}$, то линия $K$ состоит из самой кривой $C_{n}$ и ее стационарных касательных, поскольку каждая точка этой кривой является полюсом первой поляры, касающейся фундаментальной кривой (§ 71, 80).

В таком случае, двойными точками $K$ являются пересечения стационарных касательных между собой и с кривой $C_{n}$; точками возврата кривой $K$ являются точки перегиба кривой $C_{n}$, которые считаются два раза; двойными касательными кривой $K$ являются стационарные и двойные касательные кривой $C_{n}$.

Двойными же точками кривой $K$ являются (§ b) полюсами того же числа первых поляр, дважды касающихся фундаментальной кривой. Действительно, если точка $o$ является общей точкой двух стационарных касательных, то первая поляра $oC_{n}$ касается $C_{n}$ в двух соответствующих им точках перегиба. (80); а если $o$ — это точка пересечения кривой $C_{n}$ с одной из ее стационарных касательных, то первая $oC_{n}$ касается $C_{n}$ в $o$ (71) и в точке касания этой касательной с кривой $C_{n}$ (80). [Согласно § 1-2 на кривой $C_{n}$ имеется $3n(n-2)$ точек перегиба, а ], следовательно, имеется $3n(n-2)(n-3)$ первых поляр, которые дважды касаются кривой $C_{n}$, полюса которых лежат на самой кривой $C_{n}$, и еще ${\tfrac {3}{2}}n(n-2)(3n(n-2)-1)$ других первых поляр, которые тоже касаются кривой дважды, но полюса которых лежат вне кривой $C_{n}$.

103e. Кривая $K$, которую огибают поляры $(n-1)$-ые поляры для точек кривой $C_{m}$, называется $(n-1)$-ой полярой для кривой $C_{m}$.

Положим $m=1$. Тогда $(n-1)$-ая поляра для прямой $R$, то есть огибающая полярных прямых для точек прямой $R$, иными словами, место полюсов первых поляр, касающихся $R$, является кривой класса $n-1$ и порядка $2(n-2)$ с $3(n-3)$ точками возврата, с $2(n-3)(n-4)$ двойными точками и с ${\tfrac {(n-2)(n-3)}{2}}$ двойными касательными, то есть:

Имеется $3(n-3)$ первых поляр, для которых заданная прямая $R$ является стационарной касательной ^[7], $2(n-3)(n-4)$ первых поляр, для которых прямая $R$ является двойной касательной ^[8], и ${\tfrac {1}{2}}(n-2)(n-3)$ прямых, имеющих по два полюса на прямой $R$ ^[9].

103f. Если $(n-1)$-ая поляра для прямой $R$ проходит через заданную точку $o$, то эта точка является полюсом некоторой первой поляры $oC_{n}$, касающейся $R$ (§ 103e); поэтому, если $(n-1)$-ая поляра вращается вокруг фиксированной точки $o$, то прямая $R$ огибает первую поляру $oC_{n}$. Это позволяет дать два определения первой поляры для точки:

Первая поляра для точки $o$ — это место полюсов $(n-1)$-ых поляр, пересекающихся в точке $o$, и в тоже время, — это огибающая прямых, $(n-1)$-ые поляры для которых проходят через точку $o$.

104. Предположим, что полюс $p$ пробегает заданную кривую $C_{m}$ порядка $m$, имеющую $\delta$ двойных точек и $\chi$ точек возврата, какой индекс имеет ряд (§ 34), образованный при этом полярами $p^{r}C_{n}$, и что за кривая будет его оболочкой (огибающей)?

104a. Если поляра $p^{r}C_{n}$ проходит через точку $o$, то ее полюс лежит на поляре $o^{n-r}C_{n}$ (§ 69a), то есть он является одним из $rm$ пересечений поляры $o^{n-r}C_{n}$ с кривой $C_{m}$. Поэтому через $o$ проходят $rm$ $(r)$-ый поляр, полюса которых лежат на $C_{m}$, то есть $(r)$-ые поляры для точек кривой $C_{m}$ образуют ряд индекса $rm$.

104b. Если поляра $o^{n-r}C_{n}$ касается в некоторой точке кривой $C_{m}$, то в точке $o$ имеются две $r$-ые совпадающие поляры, то есть точка $o$ является точкой линии, которую огибают кривые рассматриваемого ряда. Поэтому:

Огибающая $(r)$-ый поляр, полюса которых лежат на кривой $C_{m}$, является также местом полюсов $(n-r)$-ый поляр, касающихся кривой $C_{m}$.

104c. Каков же порядок этого места? Иными словами, сколько точек имеется на произвольной прямой $L$, $(n-r)$-ые поляры для которых касаются кривой $C_{m}$? $(n-r)$-ые поляры для точек прямой $L$ составляют ряд порядка $r$ и индекса $n-r$ (§ 104a); поэтому (§ 87c) среди них имеется

$(n-r)\left(m(m+2r-3)-(2\delta +3\chi )\right)$

поляр, касающихся кривой $C_{m}$. Отсюда имеем след.:

Огибающая $(r)$-ых поляр, полюса которых лежат на кривой порядка $m$, имеющий $\delta$ двойных точек и $\chi$ точек возврата, является линией порядка

$(n-r)\left(m(m+2r-3)-(2\delta +3\chi )\right)$.

Эта линия называется $(r)$-ой полярой для заданной кривой $C_{m}$ относительно фундаментальной кривой $C_{n}$.^[10]

104d. Положим $r=1$ и обозначим как $m'$ класс кривой $C_{m}$, то есть положим

$m'=m(m-1)-(2\delta +3\chi )$

(§ 99), тогда:

Первая поляра для кривой класса $m'$, то есть место полюсов прямых, касающихся этой кривой, является линией порядка $m'(n-1)$.

Эта линия проходит через те точки, где фундаментальная кривая касается касательных, общих для нее с кривой класса $m'$.

При $m'=1$ [кривая $C_{m}$ становится точкой и] мы возвращаемся к определению первой поляры для точки (§ 103f).

104e. Положим $m=1$, тогда из предыдущего получается, что $(r)$-ая поляра для прямой является линией порядка $2(r-1)(n-r)$.

Отсюда следует, что первая поляра для прямой имеет порядок, равный нулю; что неудивительно, поскольку она составлена из $(n-1)^{2}$ полюсов заданной прямой (77).

При $r=n-1$ мы получаем отсюда утверждение, которое уже было доказано выше в (§ 103a).

104f. Порядок $(r)$-ой поляры для прямой $R$ можно вычислить и прямо следующим образом. Рассмотрим эту линию как место точек, общих двум кривым, следующим друг за другом в ряде индекса $r$ и порядка $n-r$, образованного $(r)$-ыми полярыми, полюса которых лежат на прямой $R$

Если $a$ — произвольная точка прямой $R$, $(r)$-ым полярам, проходящим через $a$, соответствуют полюса на поляре $a^{n-r}C_{n}$, которая пересекает прямую $R$ в $r$ точках $a_{1}$. И наоборот, если мы имеем произвольную точку $a_{1}$, то поляра $a_{1}^{r}C_{n}$ пересекает прямую $R$ в $(n-r)$ точках $a$; таким образом, соотнося точки $a,\,a_{1}$ с одним и тем же началом $o$, получаем между отрезками $oa,\,oa_{1}$ уравнение степени $r$ по $oa_{1}$ и степени $n-r$ по $oa$. Точка $a$ принадлежала бы искомой линии, если бы совпали две из $r$ $(r)$-ых поляр, проходящие через эту точку. Но условие, по которому названное уравнение дает два равных значения для $oa'$, имеет степень $2(r-1)$ относительно коэффициентов этого уравнения [§ 22] и, следовательно, имеет степень $2(r-1)(n-r)$ относительно $oa$. Поэтому имеется $2(r-1)(n-r)$ точек, общих для искомого места и прямой $R$; иными словами, огибающая $(r)$-ых поляр, полюса которых лежат на заданной прямой, является линией порядка $2(r-1)(n-r)$.

Подобные соображения можно применять во многих случаях при разыскании порядка линии, которую огибают кривые заданного ряда. Напр., если ряд имеет индекс $r$ и порядок $s$ и если можно указать (assegnare) пункутал, проективный этому ряду (то есть если между кривыми ряда и точками некоторой прямой можно установить взаимно-однозначное соответствие), то огибающая имеет порядок $2(r-1)s$. Отсюда при $s=1$ получается след.:

Если кривая класса $r$ такова, что можно указать пункутал, проективный ряду ее касательных, то порядок этой кривой может быть только равным $2(r-1)$. ^[11]

104g. Если $(n-r)$-ая поляра для прямой проходит через заданную точку $o$, то поляра $o^{r}C_{n}$ касается этой прямой (§ b). Поэтому:

Поляра $o^{r}C_{n}$, иными словами, место точек, для которых $(n-r)$-ые поляры проходят через точку $o$, является также огибающей прямых, $(n-r)$-ай поляры для которых содержат точку $o$.

Таким образом поляры для точек и для линий [§ 104b] определены двумя способами, и как места, и как оболочки (inviluppi) и, вероятно, в этой двойственности и состоит секрет плодовитости теории поляр.

104h. Пусть $(r)$-ая поляра для кривой $C$ касается другой кривой $C'$ в точке $o$. Тогда в точке $o$ эта поляра касается и поляры ${o'}^{r}C_{n}$ для [некоторой] точки $o'$ кривой $C$; и наоборот, по § 104b в точке $o'$ кривая $C$ касается поляры $o^{n-r}C_{n}$. Но ${o'}^{r}C_{n}$ касается в точке $o$ $C'$, поэтому [точка $o'$ принадлежит $(n-r)$-ой поляре для $C'$] и здесь эта поляра касается $o^{n-r}C_{n}$; иными словами:

Если $(r)$-ая поляра для кривой $C$ касается другой кривой $C'$, то и наоборот $(n-r)$-ая поляра для $C'$ касается $C$.

104k. Пусть

$R=a^{r-1}b^{n-r}C_{n}=b^{n-r}a^{r-1}C_{n}$.

Если прямая $R$ движется, огибая произвольную кривую $C$, оставляя постоянной точку $b$, тогда точка $a$ заметает первую поряру для $C$ относительно $b^{n-r}C_{n}$ (§ d). Если же, наоборот, остается постоянной точка $a$, когда прямая $R$ огибает кривую $C$, то точка $b$ заметает первую поляру для $C$ относительно $a^{r-1}C_{n}$. Поэтому:

Если первая поляра для кривой $C$ относительно $a^{r-1}C_{n}$ проходит через некоторую точку $b$, то первая поляра для $C$ относительно $b^{n-r}C_{n}$ проходит через точку $a$; и наоборот.

105.. Пусть $K$ — $(n-1)$-ая поляра для кривой кривой $C_{m}$ порядка $m$, а $K'$ — первая поляра для $K$. Согласно § 81 класс кривой $K$ равен $m(n-1)$, и поэтому, согласно § 104d, порядок $K'$ равен $m(n-1)^{2}$. Поскольку $K$ — это не только огибающая полярных прямых для точек кривой $C_{m}$, но так же и место полюсов первых поляр, касающихся кривой $C_{m}$ (§ 103a), то [линия $K'$ — это огибающая первых поляр $aC_{n}$, касающихся $C_{m}$ и значит,] эта линия содержит как составную часть (comprende in se) заданную кривую $C_{m}$. Следовательно, когда точка $o$ пробегает кривую $C_{m}$, [прямые $o^{n-1}C_{n}$ огибают $K$, и, поскольку полюса прямых, касающихся $K$, описывают $K'$, то] другие $(n-1)^{2}-1$ полюса полярной прямой $o^{n-1}C_{n}$ описывают линию порядка $m(n-1)^{2}-m=mn(n-2)$.

К этому результату можно придти иначе, разрешив след. проблему: когда точка $o$ пробегает данную линию, каково место других полюсов полярных прямых $o^{n-1}C_{n}$?

Предположим для начала, что заданная линия — это прямая $R$, и выясним в скольких точках она пересекает искомое место. В силу § 103e имеется ${\tfrac {1}{2}}(n-2)(n-3)$ прямых, каждая из которых имеет два полюса на прямой $R$, поэтому $(n-2)(n-3)$ полюсов таких прямых доставляют то же число точек искомого места. Кроме того, вспомним, что согласно § 90b) в каждой точке гессианы совпадают два полюса одной и той же прямой, поэтому $3(n-2)$ пересечений гессианы с прямой $R$ являются тоже точками искомого места. Поэтому это место имеет $(n-2)(n-3)+3(n-2)$ точек, общих с прямой $R$, то есть, оно имеет порядок $n(n-2)$.

Если же дана линия $C_{m}$ порядка $m$, то возьмем произвольную прямую $R$ и подсчитаем, сколько раз случится этой прямой иметь полюс на $R$, а другой полюс на $C_{m}$. Сопряженные полюса прямой $R$ должны, как было уже доказано, лежать на линии порядка $n(n-2)$, которая пересекает кривую $C_{m}$ в $mn(n-2)$ точках. Поэтому имеется $mn(n-2)$ точек на $C_{m}$, каждая из которых имеет сопряженный полюс на прямой $R$; отсюда:

Если полюс описывает кривую порядка $m$, то остальные сопряженные полюса описывают линию порядка $mn(n-2)$. ^[12]

106. Вообразим полюс $o$, пробегающий заданную кривую $C_{m}$ порядка $m$; каково место пересечений поляр $oC_{n}$ и $o^{2}C_{n}$? Возьмем произвольную прямую $R$, если через точку $i$ этой прямой проходит $oC_{n}$, то ее полюс $o$ лежит на полярной прямой $i^{n-1}C_{n}$; эта прямая пересекает кривую $C_{m}$ в $m$ точках, вторые поляры для которых пересекают $R$ в $m(n-2)$ точках $i'$. Наоборот, если взять произвольным образом на $R$ точку $i'$, через которую должна проходить вторая поляра ${o'}^{2}C_{n}$, то ее полюс $o'$ лежит на полярной конике ${i'}^{n-2}C_{n}$, которая пересекает $C_{m}$ в $2m$ точках; первые поляры для этих точек задают на $R$ $2m(n-1)$ точек $i$. Таким образом мы видим, что каждой точке $i$ отвечает $m(n-2)$ точек $i'$, а каждой точке $i'$ отвечает $2m(n-1)$ точек $i$; поэтому согласно § 83 на прямой $R$ имеется $m(n-2)+2m(n-1)=m(3n-4)$ точек $i$, каждая из которых совпадает с одной из соответствующих ей точек $i'$; то есть искомое место является кривой $U$ порядка $m(3n-4)$. Очевидно, что эта кривая касается $C_{n}$ в $mn$ точках, общих кривым $C_{m}$ и $C_{n}$, поскольку в каждой из этих точек первая и вторая поляры касаются кривой $C_{n}$ и между собой (§ 71).

Кроме того, поскольку через точку перегиба фундаментальной кривой проходят и первая, и вторая поляры (§ 80), кривая $U$ должна проходить через точку перегиба кривой $C_{n}$ столько раз, сколько имеется общих точек у кривой $C_{m}$ и стационарной касательной. Поэтому кривая $U$ проходит $m$ раз через каждую из $3n(n-2)$ точек перегиба кривой $C_{n}$.^[13]

106a. Если $C_{m}$ совпадет с $C_{n}$, то линия $U$ содержит, очевидно, два раза фундаментальную кривую; за вычетом этой кривой остается еще кривая кривая $V$ порядка $3n(n-2)$, для которой точки перегиба кривой $C_{n}$ имеют кратность $(n-2)$. Следовательно, если полюс пробегает фундаментальную кривую $(n-1)(n-2)-2$ точки, в которых пересекаются первая и вторая поляры, описывают линию порядка $3n(n-2)$, имеющую $n-2$ дуг (branche), проходящих через каждую из точек перегиба кривой $C_{n}$, одна из которых касается здесь с $C_{n}$ с кратностью три. Последнее становится очевидным, если заметить, что каждая стационарная касательная фундаментальной кривой имеет с кривой $V$ $n-2$ общих точек, то есть точку перегиба и еще $n-3$ простых пересечений. ^[14]

106b. Аналогично доказывается, что если полюс пробегает кривую $C_{m}$, то пересечения $(r)$-ой и $(s)$-ой поляр описывает линию порядка $mn(r+s)-2mrs$, которая касается фундаментальной кривой в точках, общих для этой кривой и кривой $C_{m}$. Следует еще заметить, что число $mn(r+s)-2mrs$ не меняется при замене чисел $n-r$ и $n-s$ на $r$ и $s$.

Примечания

1. Если поляра $oC_{n}$ пересекает $C_{m}$ в точке $a$ и в следующей за ней точке $b$, то $o$ — точка пересечения полярной прямой $a^{n-1}C_{n}$ со следующей за ней прямой $b^{n-1}C_{n}$, то есть точка огибающей $K$, и наоборот. — Перев.
2. В авторском экз. указано еще, что, следовательно, число кривых сети порядка $n-1$, касающихся двух кривых порядков $m,\,m'$ и классов $M,\,M'$ соответственно, равно

   $4(n-2)^{2}mm'+2(n-2)(mM'+m'M)+MM'$.

   — Перев.
3. Здесь имеется очень интересный пример работы с бесконечно близкими точками: две следующие друг за другом полярные прямые совпадают, поэтому совпадают и две точки в которых они пересекают $C_{m}$, то есть при пробегании $C_{m}$ в этой точке нужно остановиться. — Перев.
4. Если $d$ — обычная двойная точка $K$, то обе различные касательные в этой точке являются полярными прямыми $a^{n-1}C_{n}$ и $b^{n-1}C_{n}$, полюса которых лежат на $C_{m}$. Если $a_{1}$ следует за $a$ на кривой $C_{m}$, то $a_{1}^{n-1}C_{n}$ должна пересекать $a^{n-1}C_{n}$ в $d$, поэтому точки $a,\,a_{1}$ лежат на $dC_{n}$, то есть поляра $dC_{n}$ касается $C_{m}$ в точке $a$. Аналогично доказывается, что эти кривые касаются и в точке $b$. — Перев.
5. Это утверждение излишне общо, о его оправдание см. § 17 мемуара «О некоторых вопросах теории плоских кривых». — Перев.
6. Bischoff, Ук. соч. p. 174—176.
7. Если $a$ — точка возврата на $K$, то на $R$ друг за другом следуют такие точки $b,b_{1},b_{2}$, что $b^{n-1}C_{n}\cap b_{1}^{n-1}C_{n}\cap b_{2}^{n-1}C_{n}=a$, то есть эти точки принадлежат поляре $aC_{n}$. — Перев.
8. Если $a$ — двойная точка на $K$, то на $R$ имеются две различные точки $b$ и $c$, за которыми следуют такие точки $b_{1},c_{1}$, что все четыре поляры $b^{n-1}C_{n}\dots c_{1}^{n-1}C_{n}$ пересекаются в точке $a$, то есть точки $b,\dots c_{1}$ принадлежат поляре $aC_{n}$. — Перев.
9. Если $l$ — двойная касательная к $K$, то на $R$ имеются две различные точки $b$ и $c$, такие, что $b^{n-1}C_{n}=c^{n-1}C_{n}=l$. — Перев.
10. Steiner, Ук. соч. p. 2-3.
11. Заметим, что существование соответствия между рядом касательных и прямой не эквивалентно взаимно однозначному соответствию самой кривой и прямой. Напр., касательные к кривой 3-го класса с одной двойной касательной можно сопоставить с их точками пересечения с двойной касательной. Это соответствие будет взаимно однозначным, только двойной касательной будут отвечать две разные точки (точки ее касания с кривой 3-го порядка). По формулам Плюкера порядок этой кривой равен $3(3-1)-2=4=2(3-1)$, как и утверждает доказанная теорема. Но касательные к кривой 3-го порядка с одной двойной точкой тоже можно сопоставить с точками прямой: произвольная касательная имеет одну точку касания, которую можно спроектировать из двойной точки на фиксированную прямую. Это соответствие тоже будет взаимно однозначным в том смысле, что произвольной точке прямой будет отвечать одна касательная и наоборот. Тем не менее такие соответствия не подпадают под понятие проективного. Объяснить это можно следующим образом. Класс этой кривой равен $3(3-1)-2=4$ и из $3=4(4-2)-2\tau -3\iota$ видно, что эта кривая должна иметь точки перегиба. Каждая такая точка проектируется в одну точку, а следовательно, касательная, повторяющаяся в ряде касательных дважды, соответствует одной точке, которая не повторяется дважды. — Перев.
12. В авторском экз. добавлено след. Точки, общие двум кривым порядка $m$ и $mn(n-2)$, являются $3m(n-2)$ пересечениями первой кривой с гессианой для $C_{n}$ и точками той же первой кривой, являющимися полюсами двойных касательных кривой $K$ из § 103. — Перев.
13. Clebsch, Ueber eine Classe von Eliminationsproblemen und ueber einige Punkte der Theorie der Polaren (Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 58, Berlin 1861, p. 279).
14. Первая и вторая поляры для любой точки, лежащей на стационарной касательной, пересекаются в точке перегиба; из этих полюсов на фундаментальной кривой лежит сама точка перегиба $p$ и еще $n-3$ другие точки $q$. Когда полюс пробегает дугу $C_{n}$, проходящую через точку перегиба, друг за другом следуют три точки, лежащие на стационарной касательной, поэтому им отвечают три поляры, проходящие через точки, бесконечно близкие к точке перегиба и лежащие на одной прямой. Эти точки составляют дугу кривой $V$, имеющую касание кратности 3 с $C_{n}$. Когда полюс пробегает дугу $C_{n}$, проходящую через одну из указанных $n-3$, то уже следующая за ней точка не лежит на стационарной касательной и поэтому соответствующая точка пересечения поляр не лежит на стационарной прямой, доставляя дугу $V$, которая не касается кривой $C_{n}$. Здесь, конечно, возможно вырождение, но оно будет лишь тогда, когда в точке перегиба будет какая-то еще особенность. — Перев.