Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/17

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску
Кривые, порождаемые полярами при движении полюса по заданной кривой. —
Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 17.

автор Луиджи Кремона
См. Оглавление. Дата создания: 1862. Источник: Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1914. T. 1. Pag. 317-465.


103. Если точка, рассматриваемая как полюс поляры относительно фундаментальной кривой , описывает некоторую другую заданную кривую порядка , то полярная прямая огибает некоторую кривую , которая, как уже было найдено в § 81, должна иметь класс . Касательные, которые можно провести из произвольной точки к , являются полярными прямыми для точек, в которых кривая пересекает поляру .

103a. Если является такой точкой, первая поляра для которой касается кривой , то две полярные прямые, проходящие через , совпадают, то есть является точкой кривой (30)[1]; поэтому эта кривая является геометрическим местом полюсов, первые поляры для которых касаются :

.

Это свойство дает нам возможность найти порядок , то есть число точек, в которых кривая пересекает произвольную прямую . Именно, первые поляры для точек прямой образуют пучок (§ 77); поэтому, предполагая, что имеет двойных точек и точек возврата, имеем точек на прямой , первые поляры для которых являются касательными к (87c). Поэтому кривая имеет порядок , [то есть , где  — класс кривой ]. [2]

Очевидно, что стационарные касательные к кривой являются полярными прямыми для точек возврата (punti stazionari) кривой ; отсюда следует, что имеет точек перегиба. [3]

Зная порядок и число точек перегиба кривой , по формулам Плюкера99, 100) можно найти все остальное. Именно, кривая имеет

двойных точек,

точек возврата и

двойных касательных.

103b. Отметим еще, что любая двойная точка кривой является полюсом для некоторой первой поляры, касающейся в двух различных точках [4], любая точка возврата кривой является полюсом некоторой первой поляры, пересекающей кривую [в некоторой точке] с кратностью три; и любая двойная касательная кривой является прямой, имеющей или два различных полюса на кривой , или два полюса, совпадающих в двойной точке этой кривой.

Поскольку свойства системы первых поляр (относительно ) распространяются на произвольные сети кривых [5], то сказанное выше можно сформулировать так:

1.° Число кривых сети кривых порядка , пересекающих с кратностью, равной двум заданную линию порядка , имеющую двойных точек, точек возврата, равно

.

2.° Число кривых этой же сети, пересекающих указанную кривую порядка с кратностью, равной трем, равно

.[6]

103c. Каждая точка кривой является полюсом первой поляры, касающейся ; поэтому, рассматривая пересечения кривых и , имеем:

На кривой порядка , имеющей двойных точек и точек возврата, имеется точек, в которых первые поляры, взятые относительно фундаментальной кривой , касаются самой кривой .

При отсюда получается след.:

На произвольной прямой имеется точек, в которых первые поляры, взятые относительно фундаментально кривой , касаются самой этой прямой.

Если прямая касается , то в точке касания сливаются два из этих полюсов. Поэтому на касательно к существует точек, каждая из которых являются полюсом первой поляры, касающейся в некоторой другой точке указанной прямой.

103d. Если же кривая совпадает с кривой , то линия состоит из самой кривой и ее стационарных касательных, поскольку каждая точка этой кривой является полюсом первой поляры, касающейся фундаментальной кривой (§ 71, 80).

В таком случае, двойными точками являются пересечения стационарных касательных между собой и с кривой ; точками возврата кривой являются точки перегиба кривой , которые считаются два раза; двойными касательными кривой являются стационарные и двойные касательные кривой .

Двойными же точками кривой являются (§ b) полюсами того же числа первых поляр, дважды касающихся фундаментальной кривой. Действительно, если точка является общей точкой двух стационарных касательных, то первая поляра касается в двух соответствующих им точках перегиба. (80); а если  — это точка пересечения кривой с одной из ее стационарных касательных, то первая касается в (71) и в точке касания этой касательной с кривой (80). [Согласно § 1-2 на кривой имеется точек перегиба, а ], следовательно, имеется первых поляр, которые дважды касаются кривой , полюса которых лежат на самой кривой , и еще других первых поляр, которые тоже касаются кривой дважды, но полюса которых лежат вне кривой .

103e. Кривая , которую огибают поляры -ые поляры для точек кривой , называется -ой полярой для кривой .

Положим . Тогда -ая поляра для прямой , то есть огибающая полярных прямых для точек прямой , иными словами, место полюсов первых поляр, касающихся , является кривой класса и порядка с точками возврата, с двойными точками и с двойными касательными, то есть:

Имеется первых поляр, для которых заданная прямая является стационарной касательной [7], первых поляр, для которых прямая является двойной касательной [8], и прямых, имеющих по два полюса на прямой [9].

103f. Если -ая поляра для прямой проходит через заданную точку , то эта точка является полюсом некоторой первой поляры , касающейся 103e); поэтому, если -ая поляра вращается вокруг фиксированной точки , то прямая огибает первую поляру . Это позволяет дать два определения первой поляры для точки:

Первая поляра для точки  — это место полюсов -ых поляр, пересекающихся в точке , и в тоже время, — это огибающая прямых, -ые поляры для которых проходят через точку .

104. Предположим, что полюс пробегает заданную кривую порядка , имеющую двойных точек и точек возврата, какой индекс имеет ряд34), образованный при этом полярами , и что за кривая будет его оболочкой (огибающей)?

104a. Если поляра проходит через точку , то ее полюс лежит на поляре 69a), то есть он является одним из пересечений поляры с кривой . Поэтому через проходят -ый поляр, полюса которых лежат на , то есть -ые поляры для точек кривой образуют ряд индекса .

104b. Если поляра касается в некоторой точке кривой , то в точке имеются две -ые совпадающие поляры, то есть точка является точкой линии, которую огибают кривые рассматриваемого ряда. Поэтому:

Огибающая -ый поляр, полюса которых лежат на кривой , является также местом полюсов -ый поляр, касающихся кривой .

104c. Каков же порядок этого места? Иными словами, сколько точек имеется на произвольной прямой , -ые поляры для которых касаются кривой ? -ые поляры для точек прямой составляют ряд порядка и индекса 104a); поэтому (§ 87c) среди них имеется

поляр, касающихся кривой . Отсюда имеем след.:

Огибающая -ых поляр, полюса которых лежат на кривой порядка , имеющий двойных точек и точек возврата, является линией порядка

.

Эта линия называется -ой полярой для заданной кривой относительно фундаментальной кривой .[10]

104d. Положим и обозначим как класс кривой , то есть положим

99), тогда:

Первая поляра для кривой класса , то есть место полюсов прямых, касающихся этой кривой, является линией порядка .

Эта линия проходит через те точки, где фундаментальная кривая касается касательных, общих для нее с кривой класса .

При [кривая становится точкой и] мы возвращаемся к определению первой поляры для точки (§ 103f).

104e. Положим , тогда из предыдущего получается, что -ая поляра для прямой является линией порядка .

Отсюда следует, что первая поляра для прямой имеет порядок, равный нулю; что неудивительно, поскольку она составлена из полюсов заданной прямой (77).

При мы получаем отсюда утверждение, которое уже было доказано выше в (§ 103a).

104f. Порядок -ой поляры для прямой можно вычислить и прямо следующим образом. Рассмотрим эту линию как место точек, общих двум кривым, следующим друг за другом в ряде индекса и порядка , образованного -ыми полярыми, полюса которых лежат на прямой

Если  — произвольная точка прямой , -ым полярам, проходящим через , соответствуют полюса на поляре , которая пересекает прямую в точках . И наоборот, если мы имеем произвольную точку , то поляра пересекает прямую в точках ; таким образом, соотнося точки с одним и тем же началом , получаем между отрезками уравнение степени по и степени по . Точка принадлежала бы искомой линии, если бы совпали две из -ых поляр, проходящие через эту точку. Но условие, по которому названное уравнение дает два равных значения для , имеет степень относительно коэффициентов этого уравнения [§ 22] и, следовательно, имеет степень относительно . Поэтому имеется точек, общих для искомого места и прямой ; иными словами, огибающая -ых поляр, полюса которых лежат на заданной прямой, является линией порядка .

Подобные соображения можно применять во многих случаях при разыскании порядка линии, которую огибают кривые заданного ряда. Напр., если ряд имеет индекс и порядок и если можно указать (assegnare) пункутал, проективный этому ряду (то есть если между кривыми ряда и точками некоторой прямой можно установить взаимно-однозначное соответствие), то огибающая имеет порядок . Отсюда при получается след.:

Если кривая класса такова, что можно указать пункутал, проективный ряду ее касательных, то порядок этой кривой может быть только равным . [11]

104g. Если -ая поляра для прямой проходит через заданную точку , то поляра касается этой прямой (§ b). Поэтому:

Поляра , иными словами, место точек, для которых -ые поляры проходят через точку , является также огибающей прямых, -ай поляры для которых содержат точку .

Таким образом поляры для точек и для линий [§ 104b] определены двумя способами, и как места, и как оболочки (inviluppi) и, вероятно, в этой двойственности и состоит секрет плодовитости теории поляр.

104h. Пусть -ая поляра для кривой касается другой кривой в точке . Тогда в точке эта поляра касается и поляры для [некоторой] точки кривой ; и наоборот, по § 104b в точке кривая касается поляры . Но касается в точке , поэтому [точка принадлежит -ой поляре для ] и здесь эта поляра касается ; иными словами:

Если -ая поляра для кривой касается другой кривой , то и наоборот -ая поляра для касается .

104k. Пусть

.

Если прямая движется, огибая произвольную кривую , оставляя постоянной точку , тогда точка заметает первую поряру для относительно d). Если же, наоборот, остается постоянной точка , когда прямая огибает кривую , то точка заметает первую поляру для относительно . Поэтому:

Если первая поляра для кривой относительно проходит через некоторую точку , то первая поляра для относительно проходит через точку ; и наоборот.

105.. Пусть  — -ая поляра для кривой кривой порядка , а  — первая поляра для . Согласно § 81 класс кривой равен , и поэтому, согласно § 104d, порядок равен . Поскольку  — это не только огибающая полярных прямых для точек кривой , но так же и место полюсов первых поляр, касающихся кривой 103a), то [линия  — это огибающая первых поляр , касающихся и значит,] эта линия содержит как составную часть (comprende in se) заданную кривую . Следовательно, когда точка пробегает кривую , [прямые огибают , и, поскольку полюса прямых, касающихся , описывают , то] другие полюса полярной прямой описывают линию порядка .

К этому результату можно придти иначе, разрешив след. проблему: когда точка пробегает данную линию, каково место других полюсов полярных прямых ?

Предположим для начала, что заданная линия — это прямая , и выясним в скольких точках она пересекает искомое место. В силу § 103e имеется прямых, каждая из которых имеет два полюса на прямой , поэтому полюсов таких прямых доставляют то же число точек искомого места. Кроме того, вспомним, что согласно § 90b) в каждой точке гессианы совпадают два полюса одной и той же прямой, поэтому пересечений гессианы с прямой являются тоже точками искомого места. Поэтому это место имеет точек, общих с прямой , то есть, оно имеет порядок .

Если же дана линия порядка , то возьмем произвольную прямую и подсчитаем, сколько раз случится этой прямой иметь полюс на , а другой полюс на . Сопряженные полюса прямой должны, как было уже доказано, лежать на линии порядка , которая пересекает кривую в точках. Поэтому имеется точек на , каждая из которых имеет сопряженный полюс на прямой ; отсюда:

Если полюс описывает кривую порядка , то остальные сопряженные полюса описывают линию порядка . [12]

106. Вообразим полюс , пробегающий заданную кривую порядка ; каково место пересечений поляр и ? Возьмем произвольную прямую , если через точку этой прямой проходит , то ее полюс лежит на полярной прямой ; эта прямая пересекает кривую в точках, вторые поляры для которых пересекают в точках . Наоборот, если взять произвольным образом на точку , через которую должна проходить вторая поляра , то ее полюс лежит на полярной конике , которая пересекает в точках; первые поляры для этих точек задают на точек . Таким образом мы видим, что каждой точке отвечает точек , а каждой точке отвечает точек ; поэтому согласно § 83 на прямой имеется точек , каждая из которых совпадает с одной из соответствующих ей точек ; то есть искомое место является кривой порядка . Очевидно, что эта кривая касается в точках, общих кривым и , поскольку в каждой из этих точек первая и вторая поляры касаются кривой и между собой (§ 71).

Кроме того, поскольку через точку перегиба фундаментальной кривой проходят и первая, и вторая поляры (§ 80), кривая должна проходить через точку перегиба кривой столько раз, сколько имеется общих точек у кривой и стационарной касательной. Поэтому кривая проходит раз через каждую из точек перегиба кривой .[13]

106a. Если совпадет с , то линия содержит, очевидно, два раза фундаментальную кривую; за вычетом этой кривой остается еще кривая кривая порядка , для которой точки перегиба кривой имеют кратность . Следовательно, если полюс пробегает фундаментальную кривую точки, в которых пересекаются первая и вторая поляры, описывают линию порядка , имеющую дуг (branche), проходящих через каждую из точек перегиба кривой , одна из которых касается здесь с с кратностью три. Последнее становится очевидным, если заметить, что каждая стационарная касательная фундаментальной кривой имеет с кривой общих точек, то есть точку перегиба и еще простых пересечений. [14]

106b. Аналогично доказывается, что если полюс пробегает кривую , то пересечения -ой и -ой поляр описывает линию порядка , которая касается фундаментальной кривой в точках, общих для этой кривой и кривой . Следует еще заметить, что число не меняется при замене чисел и на и .

Примечания[править]

  1. Если поляра пересекает в точке и в следующей за ней точке , то  — точка пересечения полярной прямой со следующей за ней прямой , то есть точка огибающей , и наоборот. — Перев.
  2. В авторском экз. указано еще, что, следовательно, число кривых сети порядка , касающихся двух кривых порядков и классов соответственно, равно
    .
    — Перев.
  3. Здесь имеется очень интересный пример работы с бесконечно близкими точками: две следующие друг за другом полярные прямые совпадают, поэтому совпадают и две точки в которых они пересекают , то есть при пробегании в этой точке нужно остановиться. — Перев.
  4. Если  — обычная двойная точка , то обе различные касательные в этой точке являются полярными прямыми и , полюса которых лежат на . Если следует за на кривой , то должна пересекать в , поэтому точки лежат на , то есть поляра касается в точке . Аналогично доказывается, что эти кривые касаются и в точке . — Перев.
  5. Это утверждение излишне общо, о его оправдание см. § 17 мемуара «О некоторых вопросах теории плоских кривых». — Перев.
  6. Bischoff, Ук. соч. p. 174—176.
  7. Если  — точка возврата на , то на друг за другом следуют такие точки , что , то есть эти точки принадлежат поляре . — Перев.
  8. Если  — двойная точка на , то на имеются две различные точки и , за которыми следуют такие точки , что все четыре поляры пересекаются в точке , то есть точки принадлежат поляре . — Перев.
  9. Если  — двойная касательная к , то на имеются две различные точки и , такие, что . — Перев.
  10. Steiner, Ук. соч. p. 2-3.
  11. Заметим, что существование соответствия между рядом касательных и прямой не эквивалентно взаимно однозначному соответствию самой кривой и прямой. Напр., касательные к кривой 3-го класса с одной двойной касательной можно сопоставить с их точками пересечения с двойной касательной. Это соответствие будет взаимно однозначным, только двойной касательной будут отвечать две разные точки (точки ее касания с кривой 3-го порядка). По формулам Плюкера порядок этой кривой равен , как и утверждает доказанная теорема. Но касательные к кривой 3-го порядка с одной двойной точкой тоже можно сопоставить с точками прямой: произвольная касательная имеет одну точку касания, которую можно спроектировать из двойной точки на фиксированную прямую. Это соответствие тоже будет взаимно однозначным в том смысле, что произвольной точке прямой будет отвечать одна касательная и наоборот. Тем не менее такие соответствия не подпадают под понятие проективного. Объяснить это можно следующим образом. Класс этой кривой равен и из видно, что эта кривая должна иметь точки перегиба. Каждая такая точка проектируется в одну точку, а следовательно, касательная, повторяющаяся в ряде касательных дважды, соответствует одной точке, которая не повторяется дважды. — Перев.
  12. В авторском экз. добавлено след. Точки, общие двум кривым порядка и , являются пересечениями первой кривой с гессианой для и точками той же первой кривой, являющимися полюсами двойных касательных кривой из § 103. — Перев.
  13. Clebsch, Ueber eine Classe von Eliminationsproblemen und ueber einige Punkte der Theorie der Polaren (Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 58, Berlin 1861, p. 279).
  14. Первая и вторая поляры для любой точки, лежащей на стационарной касательной, пересекаются в точке перегиба; из этих полюсов на фундаментальной кривой лежит сама точка перегиба и еще другие точки . Когда полюс пробегает дугу , проходящую через точку перегиба, друг за другом следуют три точки, лежащие на стационарной касательной, поэтому им отвечают три поляры, проходящие через точки, бесконечно близкие к точке перегиба и лежащие на одной прямой. Эти точки составляют дугу кривой , имеющую касание кратности 3 с . Когда полюс пробегает дугу , проходящую через одну из указанных , то уже следующая за ней точка не лежит на стационарной касательной и поэтому соответствующая точка пересечения поляр не лежит на стационарной прямой, доставляя дугу , которая не касается кривой . Здесь, конечно, возможно вырождение, но оно будет лишь тогда, когда в точке перегиба будет какая-то еще особенность. — Перев.