Живая математика (Перельман)/Глава 2
| ← Глава 1 | Живая математика — Глава 2 | Глава 3 → |
| Опубл.: 1934. Источник: Я. И. Перельман. Живая математика. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1967. — 160 с. |
Глава 2. Математика в играх
[править]Домино
[править]16. Цепь из 28 костей. Почему 28 костей домино можно выложить с соблюдением правил игры в одну непрерывную цепь?
17. Начало и конец цепи. Когда 28 костей домино выложены в цепь, на одном её конце оказалось 5 очков. Сколько очков на другом конце?
18. Фокус с домино. Ваш товарищ берет одну из костей домино и предлагает вам из остальных 27 составить непрерывную цепь, утверждая, что это всегда возможно, какая бы кость ни была взята. Сам же он удаляется в соседнюю комнату, чтобы не видеть вашей цепи.
Вы приступаете к работе и убеждаетесь, что товарищ ваш прав: 27 костей выложились в одну цепь. Ещё удивительнее то, что товарищ, оставаясь в соседней комнате и не видя вашей цепи, объявляет оттуда, какие числа очков на её концах.
Как может он это знать? И почему он уверен, что из всяких 27 костей домино составится непрерывная цепь?
19. Рамка. Рис. 5 изображает квадратную рамку, выложенную из костей домино с соблюдением правил игры. Стороны рамки равны по длине, но не одинаковы по сумме очков: верхний и левый ряды заключают по 44 очка, остальные же два ряда — 59 и 32.
Можете ли вы выложить такую квадратную рамку, все стороны которой заключали бы одинаковую сумму очков — именно 44?
20. Семь Квадратов. Четыре кости домино можно Выбрать Так. чтобы из них составился квадратик с равной суммой очков на каждой стороне. (Образчик вы видите на рис. 6: сложив очки на каждой стороне квадратика, во всех случаях получите 11.)
Можете ли вы из полного набора домино составить одновременно с е м ь таких квадратов? Не требуется, чтобы сумма очков на одной стороне была у всех квадратов одна и та же; надо лишь, чтобы каждый квадрат имел на своих четырёх сторонах одинаковую сумму очков.
21. Магические квадраты из домино. На рис. 7 показан квадрат из 18 косточек домино, замечательный тем, что сумма очков любого его ряда — продольного, поперечного или диагонального — одна и та же: 13. Подобные квадраты издавна называются «магическими».
Вам предлагается составить несколько таких же 18-косточковых магических квадратов, но с другой суммой очков в ряду. 13 — наименьшая сумма в рядах магического квадрата, составленного из 18 костей. Наибольшая сумма — 23.
22. Прогрессия из домино. Вы видите на рис. 8 шесть косточек домино, выложенных но правилам игры и отличающихся тем, что число очков на косточках (на двух половинах каждой косточки) возрастает на 1. Ряд начинается с 4 и состоит из следующих чисел очков:
Такой ряд чисел, которые возрастают (или убывают) на одну и ту же величину, называется «арифметической прогрессией». В нашем ряду каждое число больше предыдущего на 1; но в прогрессии может быть и любая другая «разность».
Задача состоит в том, чтобы составить ещё несколько 6-косточковых прогрессий.
ИГРА В 15, ИЛИ ТАКЕН
[править]Общеизвестная коробочка с 15 нумерованными квадратными шашками имеет любопытную историю, о которой мало кто из игроков подозревает. Расскажем о ней словами немецкого исследователя игр, математика В. Аренса.
«Около полувека назад — в конце 70-х годов — вынырнула в Соединённых Штатах «игра в 15»; она быстро распространилась и, благодаря несчётному числу игроков, которых она заполонила, превратилась в настоящее общественное бедствие.
«То же наблюдалось по эту сторону океана, в Европе. Здесь можно было даже в конках видеть в руках пассажиров коробочки с 15 шашками. В конторах и магазинах хозяева приходили в отчаяние от увлечения своих служащих и вынуждены были воспретить им игру в часы занятий и торговли. Содержатели увеселительных заведений ловко использовали эту манию и устраивали большие игорные турниры.
Игра проникла даже в торжественные залы германского рейхстага. «Как сейчас вижу в рейхстаге седовласых людей, сосредоточенно рассматривающих в своих руках квадратную коробочку»,— вспоминает известный географ и математик Зигмунд Гюнтер, бывший депутатом в годы игорной эпидемии.
«В Париже игра эта нашла себе приют под открытым небом, на бульварах, и быстро распространилась из столицы по всей провинции. «Не было такого уединённого сельского домика, где не гнездился бы этот паук, подстерегая жертву, готовую запутаться в его сетях»,— писал один французский автор.
«В 1880 г. игорная лихорадка достигла, по-видимому, своей высшей точки. Но вскоре после этого тиран был повержен и побеждён оружием математики. Математическая теория игры обнаружила, что из многочисленных задач, которые могут быть предложены, разрешима только половина; другая не разрешима никакими ухищрениями.
«Стало ясно, почему иные задачи не поддавались самым упорным усилиям, и почему устроители турниров отваживались назначать огромные премии за разрешения задач. В этом отношении всех превзошёл изобретатель игры, предложивший издателю нью-йоркской газеты для воскресного приложения неразрешимую задачу с премией в 1000 долларов за её разрешение; так как издатель колебался, то изобретатель выразил полную готовность внести названную сумму из собственного кармана. Имя изобретателя Самуэль (Сэм) Лойд. Он приобрёл широкую известность как составитель остроумных задач и множества головоломок. Любопытно, что получить в Америке патент на придуманную игру ему не удалось. Согласно инструкции, он должен был представить «рабочую модель» для исполнения пробной партии; он предложил чиновнику патентного бюро задачу, и когда последний осведомился, разрешима ли она, изобретатель должен был ответить: «Нет, это математически невозможно». «В таком случае,— последовало возражение,— не может быть и рабочей модели, а без модели нет и патента». Лойд удовлетворился этой резолюцией,— но, вероятно, был бы более настойчив, если бы предвидел неслыханный успех своего изобретения» [1]).
Приведём собственный рассказ изобретателя игры о некоторых фактах из её истории:
«Давнишние обитатели царства смекалки,- пишет Лойд,- помнят, как в начале 70-х годов я заставил весь мир ломать голову над коробкой с подвижными шашками, получившей известность под именем «игры в 15» (рис. 10). Пятнадцать шашек были размещены в квадратной коробочке в правильном порядке, и только шашки 14 и 15 были переставлены, как показано на прилагаемой иллюстрации (рис. 11). Задача состояла в том, чтобы, последовательно передвигая шашки, привести их в нормальное положение, причём, однако, порядок шашек 14 и 15 должен быть исправлен.
«Премия в 1000 долларов, предложенная за первое правильное решение этой задачи, никем не была заслужена, хотя все без устали решали эту задачу. Рассказывали забавные истории о торговцах, забывавших из-за этого открывать свои магазины, о почтенных чиновниках, целые ночи напролёт простаивавших под уличным фонарём, отыскивая путь к решению. Никто не желал отказаться от поисков решения, так как все чувствовали уверенность в ожидающем их успехе. Штурманы, говорят, из-за игры сажали на мель свои суда, машинисты проводили поезда мимо станций; фермеры забрасывали свои плуги».
Познакомим читателя с начатками теории этой игры. В полном виде она очень сложна и тесно примыкает к одному из отделов высшей алгебры («теория определителей»). Мы ограничимся лишь некоторыми соображениями, изложенными В. Аренсом.
«Задача игры состоит обыкновенно в том, чтобы посредством последовательных передвижений, допускаемых наличием свободного поля, перевести любое начальное расположение 15 шашек в нормальное, т. е. в такое, при котором шашки идут в порядке своих чисел: в верхнем левом углу 1, направо - 2, затем 3, потом в верхнем правом углу 4; в следующем ряду слева направо: 5, 6, 7, 8 и т. д. Такое нормальное конечное расположение мы даем здесь на рис. 10.
«Вообразите теперь расположение, при котором 15 шашек размещены в пестром беспорядке. Рядом передвижений всегда можно привести шашку 1 на место, занимаемое ею на рисунке.
«Точно так же возможно, не трогая шашки 1, привести шашку 2 на соседнее место вправо. Затем, не трогая шашек 1 и 2, можно поместить шашки 3 и 4 на их нормальные места: если они случайно не находятся в двух последних вертикальных рядах, то легко привести их в эту область и затем рядом передвижений достичь желаемого результата. Теперь верхняя строка 1, 2, 3, 4 приведена в порядок, и при дальнейших манипуляциях с шашками мы трогать этого ряда не будем. Таким же путем стараемся мы привести в порядок и вторую строку: 5, 6, 7, 8; легко убедиться, что это всегда достижимо. Далее, на пространстве двух последних рядов необходимо привести в нормальное положение шашки 9 и 13; это тоже всегда возможно. Из всех приведенных в порядок шашек 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 13 в дальнейшем ни одной не перемещают; остается небольшой участок в шесть полей, в котором одно свободно, а пять остальных заняты шашками 10, 11, 12, 14, 15 в произвольном порядке. В пределах этого шестиместного участка всегда можно привести на нормальные места шашки 10, 11, 12. Когда это достигнуто, то в последнем ряду шашки 14 и 15 окажутся размещенными либо в нормальном порядке, либо в обратном (рис. 11). Таким путем, который читатели легко могут проверить на деле, мы приходим к следующему результату.
«Любое начальное положение может быть приведено к расположению либо рис. 10 (положение I), либо рис. 11 (положение II).
«Если некоторое расположение, которое для краткости обозначим буквою Ѕ, может быть преобразовано в положение I, то, очевидно, возможно и обратное — перевести положение I в положение S. Ведь все ходы шашек обратимы: если, например, в схеме I мы можем шашку 12 поместить на свободное поле, то можно ход этот тотчас взять обратно противоположными движениями.
«Итак, мы имеем две такие серии расположений, что положения одной серии могут быть переведены в нормальное І, а другой серии — в положение ІІ. И наоборот, из нормального расположения можно получить любое положение первой серии, а из расположения II — любое положение второй серии. Наконец, два любых расположения, принадлежащих к одной и той же серии, могут быть переводимы друг в друга.
«Нельзя ли идти дальше и объединить эти два расположения — I и II? Можно строго доказать (не станем входить в подробности), что положения эти не превращаются одно в другое никаким числом ходов. Поэтому все огромное число размещений шашек распадается на две разобщенные серии: 1) на те, которые могут быть переведены в нормальное І: это — положения разрешимые, 2) на те, которые могут быть переведены в положение ІІ и, следовательно, ни при каких обстоятельствах не переводятся в нормальное расположение: это — положения, за разрешение которых назначались огромные премии.
«Как узнать, принадлежит ли заданное расположение к первой или ко второй серии? Пример разъяснит это.
«Рассмотрим такое расположение.
«Первый ряд шашек в порядке, как и второй, за исключением последней шашки (9). Эта шашка занимает место, которое в нормальном расположении принадлежит 8. Шашка 9 стоит, значит, ранее шашки 8: такое упреждение нормального порядка называют «беспорядком». О шашке 9 мы скажем: здесь имеет место 1 беспорядок. Рассматривая дальнейшие шашки, обнаруживаем «упреждение» для шашки 14; она поставлена на три места (шашек 12, 13, 11) ранее своего нормального положения; здесь у нас 3 беспорядка (14 ранее 12; 14 ранее 13; 14 ранее 11). Всего мы насчитали уже 1+3=4 беспорядка. Далее, шашка 12 помещена ранее шашки 11, и точно так же шашка 13 ранее шашки 11. Это дает еще 2 беспорядка. Итого имеем 6 беспорядков. Подобным образом для каждого расположения устанавливают общее число беспорядков, освободив предварительно последнее место в правом нижнем углу. Если общее число беспорядков, как в рассмотренном случае, четное, то заданное расположение может быть приведено к нормальному конечному; другими словами, оно принадлежит к разрешимым. Если же число беспорядков нечетное, то расположение принадлежит ко второй серии, т. е. к неразрешимым (нуль беспорядков принимается за четное число их).
«Благодаря ясности, внесенной в эту игру математикой, прежняя лихорадочная страстность в увлечении сейчас совершенно немыслима. Математика создала исчерпывающую теорию игры, теорию, не оставляющую ни одного сомнительного пункта. Исход игры зависит не от каких-либо случайностей, не от находчивости, как в других играх, а от чисто математических факторов, предопределяющих его с безусловной достоверностью».
Обратимся теперь к головоломкам в этой области.
Вот несколько разрешимых задач, придуманных изобретателем игры:
23. Первая задача Лойда. Исходя из расположения, показанного на рис. 11, привести шашки в правильный порядок, но со свободным полем в левом верхнем углу (рис. 13).
24. Вторая задача Лойда. Исходя из расположения рис. 11 поверните коробку на четверть оборота и передвигайте шашки до тех пор, пока они не примут расположения рис. 14.
25. Третья задача Лойда. Передвигая шашки согласно правилам игры из расположения рис. 11, превратите коробку в «магический квадрат», а именно, разместите шашки так, чтобы сумма чисел была во всех направлениях равна 30.
- ↑ Этот эпизод использован Марком Твэном в его романе «Американский претендент»
КРОКЕТ
[править]Занимаясь головоломками, относящимися к домино и игре 15, мы оставались в пределах арифметики. Переходя к головоломкам на крокетной площадке, мы вступаем отчасти в область геометрии. Предлагаю крокетным игрокам следующие пять задач.
26. Пройти ворота или крокировать? Крокетные ворота имеют прямоугольную форму. Ширина их вдвое больше диаметра шара. При таких условиях, что легче: свободно, не задевая проволоки, пройти с наилучшей позиции ворота или с такого же расстояния попасть в шар («крокировать»)?
27. Шар и столбик. Толщина крокетного столбика внизу — 6 см. Диаметр шара 10 см. Во сколько раз попасть в шар легче, чем с такого же расстояния попасть в колышек («заколоться»)?
28. Пройти ворота или заколоться? Шар вдвое уже прямоугольных ворот и вдвое шире столбика. Что легче: свободно пройти ворота с наилучшей позиции или с такого же расстояния заколоться?
29. Пройти мышеловку или крокировать? Ширина прямоугольных ворот втрое больше диаметра шара. Что легче: свободно пройти с наилучшей позиции мышеловку или с такого же расстояния крокировать шар?
30. Непроходимая мышеловка. При каком соотношении между шириной прямоугольных ворот и диаметром шара пройти мышеловку становится невозможным?
РЕШЕНИЯ ГОЛОВОЛОМОК 16-30
[править]16. Для упрощения задачи отложим пока в сторону все 7 двойных косточек: 0-0, 1-1, 2-2 и т. д. Останется 21 косточка, на которых каждое число очков повторяется 6 раз. Например, 4 очка (на одном поле) имеется на следующих 6 косточках:
Итак, каждое число очков повторяется, мы видим, четное число раз. Ясно, что косточки такого набора можно приставлять одну к другой равными числами очков до исчерпания всего набора. А когда это сделано, когда наши 21 косточка вытянуты в непрерывную цепь, тогда между стыками 0-0, 1-1, 2-2 и т. д. вдвигаем отложенные 7 двойняшек. После этого все 28 косточек домино оказываются вытянутыми, с соблюдением правил игры, в одну цепь.
17. Легко показать, что цепь из 28 костей домино должна кончаться тем же числом очков, каким она начинается. В самом деле: если бы было не так, то числа очков, оказавшиеся на концах цепи, повторялись бы нечетное число раз (внутри цепи числа очков лежат ведь парами); мы знаем, однако, что в полном наборе костей домино каждое число очков повторяется 8 раз, т. е. четное число раз. Следовательно, сделанное нами допущение о неодинаковом числе очков на концах цепи — неправильно: числа очков должны быть одинаковы. (Рассуждения такого рода, как это, в математике называются «доказательствами от противного».)
Между прочим, из только что доказанного свойства цепи вытекает следующее любопытное следствие: цепь из 28 косточек всегда можно сомкнуть концами и получить кольцо. Полный набор костей домино может быть, значит, выложен, с соблюдением правил игры, не только в цепь со свободными концами, но также и в замкнутое кольцо.
Читателя может заинтересовать вопрос: сколькими различными способами выполняется такая цепь или кольцо? Не входя в утомительные подробности расчета, скажем здесь, что число различных способов составления 28-косточковой цепи (или кольца) огромно: свыше 7 триллионов. Вот точное число:
(оно представляет собою произведение следующих множителей: 213·38·5·7·4231).
18. Решение этой головоломки вытекает из только что сказанного. 28 косточек домино, мы знаем, всегда выкладываются в сомкнутое кольцо; следовательно, если из этого кольца вынуть одну косточку, то
- 1) остальные 27 косточек составят непрерывную цепь с разомкнутыми концами;
- 2) концевые числа очков этой цепи будут те, которые имеются на вынутой косточке.
Спрятав одну кость домино, мы можем поэтому заранее сказать, какие числа очков будут на концах цепи, составленной из прочих костей.
19. Сумма очков всех сторон искомого квадрата должна равняться 44×4=176, т. е. на 8 больше, чем сумма очков на косточках полного набора домино (168). Происходит это, конечно, оттого, что числа очков, занимающих вершины квадрата, считаются дважды. Сказанным определяется, какова должна быть сумма очков на вершинах квадрата: 8. Это несколько облегчает поиски требуемого расположения, хотя нахождение его все же довольно хлопотливо. Решение показано на рис. 15.
20. Приводим два решения этой задачи из числа многих возможных. В первом решении (рис. 16) имеем:
| 1 квадрат с суммою 3, | 2 квадрата с суммою 9, |
| 1 квадрат с суммою 6, | 1 квадрат с суммою 10, |
| 1 квадрат с суммою 8, | 1 квадрат с суммою 16. |
Во втором решении (рис. 17):
| 2 квадрата с суммою 4, | 2 квадрата с суммою 10, |
| 1 квадрат с суммою 8, | 2 квадрата с суммою 12. |
21. На рис. 18 дан образчик магического квадрата с суммою очков в ряду 18.
22. Вот в виде примера две прогрессии с разностью 2:
- а) 0-0; 0-2; 0-4; 0-6; 4-4 (или 3-5); 5-5 (или 4-6).
- б) 0-1; 0-3 (или 1-2); 0-5 (или 2-3); 1-6 (или 3-4); 3-6 (или 4-5); 5-6.
Всех 6-косточковых прогрессий можно составить 23. Начальные косточки их следующие:
- а) для прогрессий с разностью 1:
- 0-0 1-1 2-1 2-2 3-2
- 0-1 2-0 3-0 3-1 2-4
- 1-0 0-3 0-4 1-4 3-5
- 0-2 1-2 1-3 2-3 3-4
- б) для прогрессий с разностью 2:
- 0-0; 0-2; 0-1.
23. Расположение задачи может быть получено из начального положения следующими 44 ходами:
| 14, | 11, | 12, | 8, | 7, | 6, | 10, | 12, | 8, | 7, |
| 4, | 3, | 6, | 4, | 7, | 14, | 11, | 15, | 13, | 9, |
| 12, | 8, | 4, | 10, | 8, | 4, | 14, | 11, | 15, | 13, |
| 9, | 12, | 4, | 8, | 5, | 4, | 8, | 9, | 13, | 14, |
| 10, | 6, | 2, | 1. |
24. Расположение задачи достигается следующими ходами:
| 14, | 15, | 10, | 6, | 7, | 11, | 15, | 10, | 13, | 9, |
| 5, | 1, | 2, | 3, | 4, | 3, | 12, | 15, | 10, | 13, |
| 9, | 5, | 1, | 2, | 3, | 4, | 3, | 12, | 15, | 14, |
| 13, | 9, | 5, | 1, | 2, | 3, | 4, | 8, | 12. |
25. Магический квадрат с суммою 30 получается после ряда ходов:
| 12, | 8, | 4, | 8, | 2, | 6, | 10, | 9, | 13, | 15, |
| 14, | 12, | 8, | 4, | 7, | 10, | 9, | 14, | 12, | 8, |
| 4, | 7, | 10, | 9, | 6, | 2, | 3, | 10, | 9, | 6, |
| 5, | 1, | 2, | 3, | 6, | 5, | 3, | 2, | 1, | 13, |
| 14, | 3, | 2, | 1, | 13, | 14, | 3, | 12, | 15, | 3. |
26. Даже опытный игрок скажет, вероятно, что при указанных условиях пройти ворота легче, чем крокировать: ведь ворота вдвое шире шара. Однако такое представление ошибочно: ворота, конечно, шире, нежели шар, но свободный проход для шара через ворота вдвое у́же, чем мишень для крокировки.
Взгляните на рис. 19, и сказанное станет вам ясно. Центр шара не должен приближаться к проволоке ворот меньше чем на величину радиуса, иначе шар заденет проволоку. Значит, для центра шара останется мишень на два радиуса меньше ширины ворот. Легко видеть, что в условиях нашей задачи ширина мишени при прохождении ворот с наилучшей позиции равна диаметру шара.
Посмотрим теперь, как велика ширина мишени для центра движущегося шара при крокировке. Очевидно, что если центр крокирующего приблизится к центру крокируемого меньше чем на радиус шара, удар обеспечен. Значит, ширина мишени в этом случае, как видно из рис. 20, равна двум диаметрам шара.
Итак, вопреки мнению игроков, при данных условиях вдвое легче попасть в шар, нежели свободно пройти ворота с самой лучшей позиции.
27. После только что сказанного эта задача не требует долгих разъяснений. Легко видеть (рис. 21), что ширина цели при крокировке равна двум диаметрам шара, т. е. 20 см; ширина же мишени при нацеливании в столбик равна сумме диаметра шара и столбика, т. е. 16 см (рис. 22). Значит, крокировать легче, чем заколоться, в
всего на 25%. Игроки же обычно сильно преувеличивают шансы крокировки по сравнению с попаданием в столбик.
28. Иной игрок рассудит так: раз ворота вдвое шире чем шар, а столбик вдвое у́же шара, то для свободного прохода ворот мишень вчетверо шире, чем для попадания в столбик. Наученный предыдущими задачами, читатель наш подобной ошибки не сделает. Он сообразит, что для прицела в столбик мишень в 1 ½ раза шире, чем для прохода ворот с наилучшей позиции. Это ясно из рассмотрения рис. 23 и 24.
(Если бы ворота были не прямоугольные, а выгнутые дугой, проход для шара был бы еще у́же — как легко сообразить из рассмотрения рис. 25.)
29. Из рис. 26 и 27 видно, что промежуток a, остающийся для прохода центра шара, довольно тесен при указанных в задаче условиях. Знакомые с геометрией знают, что сторона AB квадрата меньше его диагонали АС примерно в 1,4 раза.
Если ширина ворот 3d (где d — диаметр шара), то AB равно
Промежуток же а, который является мишенью для центра шара, проходящего мышеловку с наилучшей позиции, — еще у́же. Он на целый диаметр меньше, т. е. равен:
Между тем мишень для центра крокирующего шара равна, как мы знаем, 2d. Следовательно, крокировать почти вдвое легче при данных условиях, чем пройти мышеловку.
30. Мышеловка становится совершенно непроходимой в том случае, когда ширина ворот превышает диаметр шара менее чем в 1,4 раза. Это вытекает из объяснения, данного в предыдущей задаче. Если ворота дугообразные, условия прохождения ещё более ухудшаются.