Живая математика (Перельман)/Глава 6

Живая математика — Глава 6
автор Яков Исидорович Перельман (1882-1942)

Опубл.: 1934. Источник: Я. И. Перельман. Живая математика. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1967. — 160 с.

ГЛАВА ШЕСТАЯ. Зашифрованная переписка

57. Решётка. Революционер-подпольщик вынужден вести свои записи и переписку с товарищами таким образом, чтобы никто из посторонних не мог понять написанного. Для этого пользуются особым способом письма, называемым «тайнописью» (или «криптографией»). Придуманы разные системы тайнописи; к их услугам прибегают не одни подпольщики, но также дипломаты и военные для сохранения государственных тайн. Расскажем далее об одном из способов ведения секретной переписки, именно о так называемом способе «решётки». Он принадлежит к числу сравнительно простых И тесно связан с арифметикой.

Желающие вести тайную переписку по этому способу запасаются каждый «решёткой», т. е. бумажным квадратиком с прорезанными в нём окошечками.

Образчик решётки вы видите на рис. 41. Окошечки размещены не произвольно, а в определённом порядке, который станет ясен вам из дальнейшего.

Пусть требуется послать товарищу такую записку: Собрание делегатов района отмените. Полиция кем-то предупреждена. Антон.

Наложив решётку на листок бумаги, подпольщик пишет сообщение букву за буквой в окошечках решётки.

Рис. 41. Решётка для тайной переписки. (Сделайте такую из бумаги и прочтите секретную запись рис. 45.) Рис. 42. Сняв решётку, увидим запись. Рис. 43. Пишем затем следующие 16 букв.

Так как окошек 16, то сначала помещается только часть записки:

Собрание делегато...

Сняв решётку, мы увидим запись, представленную на рис. 42.

Здесь, разумеется, ничего засекреченного пока нет: каждый легко поймёт, в чём дело. Но это только начало; записка в таком виде не останется. Подпольщик поворачивает решётку «по часовой стрелке» на четверть оборота, т. е. располагает её на том же листке так, что цифра 2, бывшая раньше сбоку, теперь оказывается вверху. При новом положении решётки все ранее написанные буквы заслонены, а в окошечках появляется чистая бумага. В них пишут следующие 16 букв секретного сообщения. Если теперь убрать решётку, получим запись, показанную на рис. 43.

Такую запись не поймёт не только посторонний человек, но и сам писавший, если позабудет текст своего сообщения.

Но записана пока только половина сообщения, именно: Собрание делегатов района отмените. П...

Чтобы писать дальше, надо вновь повернуть решётку на четверть оборота по часовой стрелке. Она закроет всё написанное и откроет новые 16 свободных клеток. В них найдут себе место ещё несколько слов, и записка приобретёт вид рис. 44.

Наконец, делается последний поворот решётки, цифрой 4 вверх, и в открывшиеся 16 чистых квадратиков вписывают окончание записки. Так как остаются три неиспользованные клетки, их заполняют буквами а, б, в, просто для того, чтобы в записке не оказалось пробелов Письмо имеет вид, представленный на рис. 45.

Рис. 44. Надо вновь повернуть решётку. Рис. 45. Секретная записка готова.

Попробуйте в нем что-нибудь разобрать! Пусть записка попадёт в руки полиции. пусть полицейские сколько угодно подозревают, что в ней скрыто важное сообщение, догадаться о содержании записки в состоянии только адресат, имеющий в руках точно такую же решётку, как и та, которой пользовался отправитель.

Как же прочтёт адресат это секретное письмо? Он наложит свою решётку на текст, обратив её цифрой 1 вверх, и выпишет те буквы, которые появятся в окошечках. Это будут первые 16 букв сообщения. Затем повернёт решётку — и перед ним предстанут следующие 16 букв. После четвёртого поворота вся секретная записка будет прочтена.

Вместо квадратной решётки можно пользоваться и прямоугольной, в форме почтовой карточки, с широкими окошечками (рис. 46). В окошечки такой решётки вписывают не отдельные буквы, а части слов, даже целые слова, если они помещаются.

Рис. 46. Решётка в форме почтовой карточки.

Не думайте, что запись окажется тогда более разборчивой. Нисколько! Хотя от дельные слоги и слова видны но перемешаны они в таком нелепом беспорядке, что секрет достаточно надёжно сохранён. Продолговатую решётку кладут сначала одним краем вверх, потом противоположным; после этого переворачивают её на левую сторону и снова пользуются в двух положениях. В каждом новом положении решётка закрывает всё написанное раньше.

Рис. 47. Свыше 4 миллиардов секретных решёток в одном квадрате.

Если бы возможна была только одна решётка, то способ переписки с её помощью никуда не годился бы в смысле секретности. В руках полиции, конечно, имелась бы эта единственная решётка, и тайна немедленно раскрывалась бы. Но в том-то и дело, что число различных решёток чрезвычайно велико.

Все решётки, какие можно изготовить для 64-клеточного квадрата, отмечены на рис. 47. Вы можете выбрать для окошечек любые 16 клеток, заботясь лишь о том, чтобы в числе взятых клеток не было двух с одинаковыми номерами. Для той решётки, которой мы пользовались сейчас, взяты были следующие номера клеток:

2,	4,	5
	14,
9,	11,	7
8,	15,
3,	12,
10,	6,
13,	1,

Как видите, ни один номер не повторяется.

Понять систему расположения цифр в квадрате (рис. 47) нетрудно. Он делится поперечными линиями на 4 меньших квадрата, которые обозначим для удобства римскими цифрами I, II, III, IV (рис. 48). В I квадрате клетки перенумерованы в обычном порядке. Квадрат II — тот же квадрат I, только повёрнутый на четверть оборота вправо.

Повернув его еще на четверть оборота, получаем квадрат III; при следующей четверти оборота получается квадрат IV.

Рис. 48. Схема к рис. 47.

Подсчитаем теперь математически, сколько может существовать разных решёток. Клетку №1 можно взять (в качестве окошка) в 4 местах. В каждом случае можно присоединить клетку №2, взяв её также в 4 местах. Следовательно, два окошка можно наметить 4×4, т. е. 16 способами. Три окошка — 4×4×4=64 способами. Рассуждая таким образом, устанавливаем, что 16 окошек можно набрать 4¹⁶ способами (произведение 16 четвёрок). Число это превышает 4 миллиарда. Если даже считать наш расчёт преувеличенным в несколько раз (так как неудобно пользоваться решётками с примыкающими друг к другу окошечками, и эти случаи надо исключить), то все же остаётся несколько сотен миллионов решёток,— целый океан! Попробуйте отыскать в нем именно ту, какая требуется.

Если, скажем, группа дешифровальщиков тратит на приготовление решётки и проверку, даёт ли она что-либо осмысленное, лишь минуту, то для расшифровки записки могут потребоваться сотни миллионов минут — целые тысячелетия! Впрочем, все это верно лишь в том случае, если расшифровка ведётся так сказать «голыми руками». В книге «Занимательная алгебра» того же автора вы можете прочитать о быстродействующих вычислительных машинах. Такие машины могут по определённой программе производить сотни тысяч и даже миллионы вычислений в секунду. Могут они и не только считать. Например, они могут перебирать всевозможные решётки и проверять, даёт ли каждая такая решётка осмысленный текст,— нужно лишь составить подходящую программу для такой машины. И если испытание одной решётки на машине требует, скажем, одной тысячной доли секунды, то для перебора сотен миллионов решёток требуются сотни тысяч секунд, т. е. несколько суток. Как видите, в современных условиях сохранение секретности переписки становится затруднительным.

58. Как запомнить решётку? Но предположим, что опасаться рассекречивания с помощью машин не приходится. Скажем, содержание записки должно остаться тайным лишь 2-З дня, и можно надеяться, что это время недостаточно для перехвата записки, отправки её в вычислительный центр и дешифровки. Подпольщики решили воспользоваться решёткой. Само собою разумеется, оба участника переписки должны быть начеку, чтобы их решётка не попала в посторонние руки. Лучше всего вовсе не хранить решёток,а вырезать их при получении письма и уничтожать тотчас по прочтении. Но как запомнить расположение окошек? Здесь снова приходит нам на помощь математика. Будем обозначать окошки цифрою 1, прочие же клетки решётки цифрою 0. Тогда первый ряд клеток решётки получит такое обозначение (рис. 49):

01010010

или, отбросив передний нуль,—

1010010.

Второй ряд, если отбросить в нем передние нули, обозначится так:

1000.

Прочие ряды получают следующие обозначения:

10100010	10001000
10000	100010
1000100	10001.

Чтобы упростить запись этих чисел, будем считать, что они написаны не по десятичной системе, которою обычно пользуются, а по «двоичной». Это значит, что единица больше соседней, стоящей справа, не в 10 раз, а только в 2 раза. Единица в конце числа означает, как обычно, простую единицу; единица на предпоследнем месте означает двойку; на третьем с конца — четвёрку; на четвёртом — восьмёрку; на пятом — 16 и т.д. При таком понимании число 1010010, обозначающее расположение окошек первого ряда, заключает простых единиц

64+16+2=82,

потому что нули указывают на отсутствие единиц данного разряда.

Число 1000 (второй ряд) заменится в десятичной системе числом 8.

128+32+2	=	162
16
64+4	=	68
128+8	=	136
32+2	=	34
16+1	=	17

Запомнить же числа: 82, 8, 162, 16, 68, 136, 34, 17 не так уж трудно. А зная их, всегда можно получить ту первоначальную группу чисел, из которой они получены и которые прямо указывают расположение окошек в решётке.

Как это делается, покажем на примере первого числа — 82. Разделим его на два, чтобы узнать, сколько в нём двоек; получим 41; остатка нет,— значит, на последнем месте, в разряде простых единиц, должно быть 0. Полученное число двоек 41, делим на 2, чтобы узнать, сколько в нашем числе четвёрок:

41 : 2=20, остаток 1.

Это значит, что в разряде двоек, т. е. на предпоследнем месте, имеется цифра 1. '

Далее, делим 20 на 2, чтобы узнать, сколько в нашем числе восьмёрок:

20 : 2=10.

Остатка нет,— значит, на месте четвёрок стоит 0.

Делим 10 на 2; получаем 5 без остатка: на месте восьмёрок — 0.

От деления 5 на 2 получаем 2 и в остатке 1: в этом разряде стоит цифра 1. Наконец, делим 2 на 2 и узнаем, что в следующем разряде 0, а в последнем разряде 1 (этот разряд соответствует шестидесяти четырём).

Итак, все цифры искомого числа определились:

1010010.

Так как здесь всего 7 цифр, а в каждом ряду решётки 8 клеток, то ясно, что один нуль впереди был опущен, и расположение окошек в первом ряду определяется цифрами:

01010010,

т. е. окошки имеются на 2-м, 4-м и 7-м местах.

Так же восстанавливается расположение окошек и в прочих рядах.

Существует, как было сказано, множество разных систем тайнописи. Мы остановились на решётке потому, что она близко соприкасается с математикой и лишний раз доказывает, как разнообразны те стороны жизни, куда заглядывает эта наука.