Интегрирование дифференциальных уравнений (Егоров)/0

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску
Интегрирование дифференциальных уравнений.
Введение.

автор Дмитрий Фёдорович Егоров
Опубл.: 1909. Источник: Д. Егоров. Интегрирование дифференциальных уравнений. Ч. 1-2. Москва, 1909.


Определение производной от данной функции составляет прямую задачу исчисления бесконечно-малых величин. Общий вопрос обратной задачи исчисления бесконечно малых состоит в том, чтобы определить одну или несколько функций одного или нескольких переменных из данных соотношений между независимыми переменными, функциями и их производными. Пусть имеется ряд независимых переменных:

и ряд функций от этих переменных

Тогда соотношения, о которых идет речь, имеют вид

и называются дифференциальными уравнениями; порядок наивысшей производной называется порядком уравнения.

Если , то есть независимое переменное одно, то уравнения называются обыкновенными, если же , то — уравнениями с частными производными.

Мы начнем с того случая, когда имеется одна функция () и одно независимое переменное (); тогда функция определяется одним дифференциальным уравнением:

если в уравнения входят производные до порядка , то уравнение называется уравнением -го порядка.

Определение функций из дифференциальных уравнений, или интегрирование дифференциальных уравнений, можно понимать различно. Самая узкая постановка задачи следующая: выразить искомую функцию через элементарные функции. В этом смысле, вообще говоря, задача, конечно, не всегда разрешима, так как даже для самого простейшего дифференциального уравнения

имеем

и не всегда выражается в элементарных функциях, хотя бы это и имело место для .

Во-вторых, нахождение функции, удовлетворяющей дифференциальному уравнению, можно понимать в смысле указания приема, которым по каждому значению переменного находится значение функции. Такие приемы могут быть весьма разнообразны, например, задача в этом смысле будет разрешена, коль скоро будет найдено разложение функции в сходящийся ряд, более или менее простого типа. Взяв известное число членов, для каждого значения переменного в пределах сходимости ряда получим с любым приближением значение функции.

Третье толкование определения функции из дифференциального уравнения состоит в том, что мы считаем задачу разрешенной, как только нам удастся привести ее к другим более простым задачам, и именно к вычислению интегралов данных функций, или квадратурам. Таким образом, возникает вопрос о дифференциальных уравнениях, приводимых к квадратурам.