Оптические стекла. — Так в наиболее общем смысле слова называют различно ограниченные прозрачные среды, помещаемые на пути световых лучей, исходящих от предметов, с целью дать этим лучам другое направление; отдельно взятое О. стекло, а также совокупность нескольких О. стекол есть оптическая система. О. стекла, ограниченные сферическими поверхностями, называются иногда оптическими чечевицами или линзами, а составленные из них системы, предназначенные для различных целей практической жизни и науки, называют оптическими приборами.
I. Практически наиболее важный случай преломления есть преломление света сферическими поверхностями раздела двух сред различной оптической плотности. Рис. 1 представляет сечение сред какою-либо плоскостью, проходящею через O и L. Линия OL есть ось, точка K — вершина оптической системы. Луч LM, преломившись в более плотной среде B, приблизится к радиусу OMn и пересечет продолжение оси OL в какой-либо точке F; всякий другой луч LP, преломившись, пересечет ось в той же точке F. Точка F назыв. фокусом оптической системы по отношению к источнику света L. Точки L и F назыв. сопряженными, так как если представить себе источник света расположенным в более плотной среде в точке F, то его фокусом в среде A будет точка L. Если рядом с L рассмотрим другую светящуюся точку L′, то изображение ее получится на оси (побочной) L′O, где-либо в F′ над точкою F, если L′ под точкою L и наоборот. Подобным же образом каждая другая точка поверхности L′LL″ будет иметь в среде B свое изображение, и совокупность этих изображений даст изображение светящейся поверхности. Такое изображение называют действительным, так как оно получено действительно схождением лучей и может служить самостоятельным источником света. Поверхность на которой укладывается изображение поверхности L′LL″, назыв. фокусной поверхностью. 
Рис. 1. Расстояние KF = f изображения точки от вершины зависит только от расстояния KL = a, от радиуса шаровой поверхности OM = r и от величины показателя преломления n среды B по отношению к среде A, и эта зависимость выражается формулой
Эта формула не содержит величины угла LMK, под которым луч падает на границу раздела двух сред; следовательно, величина f для всех лучей общая, т.-е. все лучи собираются в одной точке, как и сказано выше. Из формулы следует: когда a бесконечно велико, то , и тогда , т.-е. f постоянная величина, зависящая только от n и r. Эта величина, которую обозначим ФB, назыв. главным фокусным расстоянием. В этой точке соберется пучок параллельных лучей, падающих на отрезок шаровой поверхности, и, наоборот, лучи от светящейся точки, помещенной в ФB в среде B, дадут в среде A изображение лишь на бесконечном расстоянии, выйдя в среду A параллельным пучком. Наоборот, если искать, где следует расположить светящуюся точку в среде A, чтобы она образовала в B параллельный пучок лучей, дающий изображение в бесконечности, т.-е. в формуле положим f равным бесконечности, то получим . Эта величина, которую обозначим ФA, есть главное фокусное расстояние системы в среде A. Отношение , т.-е. показание преломления среды B по отношению к среде A. Когда светящийся предмет находится в среде A между ФA и вершиною K, то он дает в B расходящийся пучок лучей. В этом случае действительного изображения нет. Оптическая система, подобная вышеописанной, дающая от предметов вообще действительные изображения, назыв. обыкновенно собирательной.
II. Другой простейший основной случай есть тот, когда более плотная среда B граничит с менее плотной A вогнутой шаровой поверхностью с центром в O (рис. 2). Луч LO, идущий от точки L предмета L′LL″ через центр O, пройдет не преломившись и даст оптическую ось системы. Произвольный луч LM, преломившись в среде B и приблизившись к перпендикуляру OMn, пойдет по направлению MH, другой такой же луч LN — по направлению NP. Теория учит и опыт подтверждает, что продолжения преломленных лучей, исходящих из одной точки L, пересекутся на оси OL в одной же точке F, которая назыв. фокусом системы для точки L, или мнимым изображением точки L, так как, не давая истинного схождения лучей, подобная система не дает также действительного непосредственно видимого изображения предмета. Расстояние KF = f мнимого изображения от вершины зависит от KL = a, от радиуса шаровой поверхности r и от величины n, и выражается зависимостью
III. Наиболее важный по применениям в практической диоптрике случай представляет стеклянная пластинка со шлифованными сферическими поверхностями, находящаяся в воздухе. 
Рис. 2. Такая оптическая чечевица (линза) может представляться (рис. 3) в одном из следующих шести главных видов: A — двояковыпуклая чечевица, B — плосковыпуклая, C — вогнутовыпуклая (перископическая), D — выпукловогнутая, E — плосковогнутая, F — двояковогнутая. Первые три из них представляют системы собирательные, 
Рис. 3. т.-е. дающие действительные обращенные изображения отдаленных предметов, остальные три — рассеивающие и дают прямые мнимые изображения. Типичным образцом первой группы является двояковыпуклая чечевица, у которой радиусы двух шаровых поверхностей раздела равны (рис. 4). Пусть Pp оптическая ось, PQR — предмет. Чтобы найти изображение точки P, берем произвольные лучи PM и PN и, построив преломленное продолжение их PMKp и PNSp, найдем в точке пересечения их p — изображение точки P; ибо и все остальные лучи, исходящие из P, сойдутся в точке p. Точно так же строится изображение q точки Q, изображение r точки R, и получается полное изображение rpq предмета PQR. Представителем второй группы служит двояковогнутая чечевица, у которой радиусы двух сферических поверхностей равны (рис. 5). Формула для всех шести случаев одна и та же:
![{\displaystyle (n-1)\left[{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{r'}}\right]={\frac {1}{a}}+{\frac {1}{f}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b624f535d1d2a90da695c3271f3848bfc0fd504d)
где n — относительный показатель преломления двух сред, r — радиус кривизны первой поверхности раздела, на которую падает свет, 
Рис. 4. a r′ — радиус второй поверхности раздела, из которой лучи выходят; при этом величины r и r′ принимаются положительными, когда поверхности обращены к источнику света своей выпуклой стороной, и отрицательными, когда они обращены к нему своей вогнутой стороной; кроме того, r и r′ принимаются бесконечно большими (r = ∞), когда соответствующие им поверхности суть плоскости. Положив в общей формуле a равным бесконечности, получим для величины f величину f = Ф — главное фокусное расстояние чечевицы, т.-е. расстояние от чечевицы точки, в которой соберутся параллельные лучи света, падающие на чечевицу. 
Рис. 5. Если f равно бесконечности, то расстояние a, исходящие из которого лучи выйдут параллельным пучком из чечевицы, будет равно тому же Ф. Эта величина определяется из зависимости
следовательно:
где Ф следует принимать положительным, для собирательных систем, имеющих действительный фокус, и отрицательным — для рассеивающих чечевиц, имеющих фокус мнимый. Отношение величины изображения к величине самого предмета определяется общей формулой
где Ф принимается положительным, когда изображения действительны, и отрицательным, когда они мнимы. Отсюда видно, что изображение будет меньше предмета, пока Ф < a − Ф или a > 2Ф, сделается ему равным при a = 2Ф и сделается большим его, но мнимым (лупа), когда a < 2Ф. Для чечевиц рассеивающих выражение
указывает, что изображение будет всегда мнимое и меньше предмета, и сделается ему равным лишь при a = 0. Свойствами главного фокуса пользуются для приблизительного геометрического построения изображений предметов. Для этой цели, кроме главного фокуса, рассматривают внутри чечевицы, приблизительно на равном расстоянии от поверхностей ее, некоторую точку — оптический центр чечевицы, обладающую тем свойством, что все лучи, через нее проходящие, проходят через чечевицу, не преломившись. При построении изображения точки Q (рис. 4) два необходимых для построения произвольных луча выбирают так, чтобы один из них Qa был параллелен оси Pp; этот луч должен, преломившись, пройти через главный фокус F, и, следовательно, можно прямо начертить его — aFq. Другой луч берется такой, который, не преломившись, проходит через оптический центр O, пересечение лучей Qaq и QOq в точке q дает в этой точке изображение Q. Точно так же построено изображение R, а на рис. 5 изображения P и R.
IV. Если несколько чечевиц расположены друг за другом, так что их оптические оси совпадают, то такая система чечевиц назыв. центрированною. Положение главного фокуса такой системы, а также увеличение, даваемое ею, вычисляются на основании данных о составляющих систему элементов. Если система центрирована, и составляющие ее чечевицы очень близки друг к другу, то можно положить
где F — главное фокусное расстояние системы, a f1, f2, f3 главные фокусные расстояния составляющих ее чечевиц. Все приведенные выше формулы применимы с достаточною точностью только к таким чечевицам, толщина которых представляет незначительную часть радиуса кривизны их поверхностей. В 1841 г. Гаусс показал, что можно пользоваться с полной точностью приведенными выше простыми формулами и для чечевиц не бесконечно тонких, если только считать расстояния не от поверхностей чечевиц или их оптического центра, но от двух особенных точек на оси чечевиц, названных им главными точками. Плоскости, проведенные через эти точки перпендикулярно к оси, называются главными плоскостями. Положение главных точек и плоскостей определяется тем, что предмет, находящийся в одной из главных плоскостей, дает во второй из них равное ему по величине и прямое изображение. Положение главных точек определяется особыми формулами, дающими расстояния их от вершин чечевицы. Для обыкновенных сортов стекла расстояние между главными точками в чечевицах равно около одной трети толщины самой чечевицы. Если на основании формул построить главные плоскости для шести основных типов чечевиц, то найдем положение их таковым, каково оно обозначено буквами a и b на рис. 3. Для облегчения и упрощения рассчета оптических систем Гауссом, а затем Листингом и Гельмгольцем были изучены свойства еще нескольких замечательных точек и плоскостей в диоптрике центрированных оптических систем; совокупность этого учения обозначают обыкновенно Гауссовой теорией оптических систем.
V. Когда посредством обыкновенной чечевицы получается действительное изображение какого-либо предмета, то замечается общая нерезкость и окрашенность его очертаний; причина a) сферическая, второго — b) хроматическая аберрация; на резкость изображения влияет также c) астигматизм. a) Сферическая аберрация. В изложенной выше теории предполагалось, что все лучи, исходящие из одной точки, или продолжения этих лучей, по преломлении, пересекутся также в одной точке. В действительности же только лучи, составляющие с осью одинаковый угол, пересекаются в одной точке. Это явление назыв. сферической аберрацией, а расстояние между фокусами для центральных и краевых лучей называют величиною сферической аберрации — α. Весьма малой сферической аберрацией обладает плосковыпуклая чечевица, обращенная выпуклой стороной к падающему свету (α = 1,17e, где e толщина чечевицы); если чечевицу повернуть плоской стороной к свету, аберрация тотчас возрастает (α = 4,5e). Фокусное расстояние краевых лучей fк больше фокусного расстояния центральных лучей (близких к оси) fц в чечевицах типа А, В, С, E, F (рис. 3); в чечевицах же выпукловогнутых D, фокусное расстояние краевых лучей может быть больше фокусного расстояния центральных лучей или меньше его, смотря по величине расстояния a. В этих последних чечевицах есть, следовательно, и определенное расстояние, исходящие из которого лучи сойдутся все в одной точке. Условие схождения всех лучей центральных и краевых в одной точке назыв. условием апланатизма, а чечевица, удовлетворяющая этим условиям — апланатической или апланатом. Теоретическое исследование вопроса показало, что сферические поверхности дают изображение точки не в виде точки, но в виде линии, назыв. диакаустической линией; лишь некоторые сложные поверхности (сечение их представляет овалы Декарта) лишены вполне сферической аберрации для известных случаев, но приготовление таких поверхностей связано с практическими трудностями. Поэтому, чтобы достигнуть приблизительного апланатизма, чечевицы снабжались диафрагмами — непрозрачными экранами с круглыми отверстиями, которые пропускали лишь лучи, близкие к центральным. Затем нашли возможность достигнуть приблизительного апланатизма комбинацией нескольких чечевиц. Основа этого метода лежит в замене одной чечевицы с коротким фокусом, обладающей значительной сферической аберрацией, эквивалентной ей системой из нескольких чечевиц с длинными фокусами, обладающими незначительными и противоположными величинами аберрации. b) Хроматическая аберрация. Коэффициент преломления какой-либо среды по отношению к другой различен для лучей различных длин волн. Отсюда следует, что формула, дающая f в зависимости от a, приводит к вполне определенным результатам лишь, когда лучи света, проходящие чрез чечевицу, вполне однородны. Если же свет неоднороден, то для f получится целый ряд величин, при чем самая большая из них будет соответствовать лучам с наибольшей длиной волны — красным, а самая меньшая — лучам фиолетовым. Таким образом, изображение точки получится в виде цветной линии, расположенной по оси. Это явление, обнаруживающееся в окрашенности краев изображений, назыв. хроматической аберрацией. Условия, при которых лучи двух или нескольких различных длин волн сходятся по преломлении в одном фокусе, назыв. условиями ахроматизма, а чечевица, удовлетворяющая этим условиям, ахроматической. Сочетанием двух чечевиц, одной рассеивающей, другой собирательной, из двух различно преломляющих веществ, можно построить ахроматическую чечевицу (см. Ахроматический, IV, 410). c) Астигматизм. Пучок лучей, исходящий из некоторой точки предмета и попадающий на чечевицу под большим углом к оптической оси, вовсе не собирается в одной точке где-либо за чечевицей, но идет суживающимся конусом, стягивающимся в двух местах в прямые линии, одна из которых лежит в плоскости, проходящей чрез пучок и оптическую ось, а другая — перпендикулярно к ней. При небольших углах астигматизм незаметен; мы говорим тогда, что пучок лучей, исходящий из одной точки, снова в точке собирается, и такой пучок называем гомоцентрическим. Уменьшения вызываемой астигматизмом нерезкости изображения можно достигнуть диафрагмированием чечевицы или целесообразной заменой одной чечевицы несколькими, соответственным образом рассчитанными.
Метод, которым мы пользовались до сих пор, есть метод геометрической оптики. Поэтому возникает вопрос, вполне ли ее выводы согласуются с тем, что дает аналогичное изучение вопросов с точки зрения физической оптики. Исследование приводит к заключению, что физическая оптика дает много следствий, не вытекающих из геометрической оптики, и вполне подтверждающихся на опыте. Физическая оптика или теория света объясняет сущность сферической аберрации, а также хроматическую аберрацию чечевицы. Физическая оптика предсказывает еще другое обстоятельство: края отверстия чечевицы должны вызвать явление диффракции (см.), благодаря которому изображение отдаленной точки, иссылающей плоскую волну, в точке F получится в виде светлого кружка, окруженного попеременно светлыми и темными кольцами. Это обстоятельство наблюдается в действительности и играет весьма важную роль в теории и практике оптических инструментов.