АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯжайшее исследование обнаруживает, что кривая представляет собой гиперболу (см. Конические сечения). Чем меньше расстояние между «вершинами» ее А и В, тем меньше она искривляется; когда эти точки совпадают, кривая вырождается в две прямые.
Итак, кривые второго порядка совпадают с коническими сечениями древних. Вместе с тем ясны те пределы, в к-рых развернулись систематические исследования древних геометров: они охватили алгебраич. кривые первого и второго порядка. Им были также известны нек-рые отдельные кривые третьего и четвертого порядка и отдельные же трансцендентные кривые. Общее исследование замерло на кри — Рис. 12.
вых второго порядка почти на две тысячи лет, пока идеи Декарта не дали ему нового мощного взмаха.
Алгебраич. кривые третьего порядка исследовал еще Ньютон и обнаружил 72 вида их; к ним было позже присоединено еще 6 видов. Это быстрое усложнение различных форм с повышением порядка кривой повело к принципиальному вопросу об основах классификации алгебраич. кривых, послужившему точкой отправления общей теории их. Как ни велико разнообразие новых криволинейных форм, к к-рым это исследование привело, преимущественное значение А. г. лежит не в теории алгебраич. кривых.
Гораздо болыпёе значение получило соединение идей А. г. с методами исчисления бесконечно-малых, приведшее к так называемой дифференциальной геометрии (см.).
Предыдущее изложение относится исключительно к геометрии на плоскости. Обращаясь теперь к пространственным образам, предположим, что нам дана нек-рая поверхность и установлена система ортогональных Декартовых координат. Пусть М будет произвольная точка на поверхности (рис. 12).
Если опустим перпендикуляр MN из точки М на плоскость XOY, то координаты х, у точки N служат одновременно координатами ж, у точки М в пространстве. Если точка N задана, то, восставив, из нее перпендикуляр к плоскости XOY, мы получим в пересечении с поверхностью точку М. Мы можем поэтому сказать, что положением точки N определяется (однозначно или многозначно) точка М на заданной поверхности. А т. к. положение точки N на плоскости определяется координатами х и у, то мы можем сказать, что координата z точки на поверх 620
ности определяется (однозначно или многозначно) значениями координат х и у той же точки. Иными словами, координаты любой точки заданной поверхности связаны соотношением вида z=f(x, у), к-рое называется уравнением поверхности. В более общем виде это уравнение можно написать в форме F(x, у, z)=0; при помощи него можно выразить любую из трех координат точки через две другие. Т. о. поверхность выражается аналитически уравнением, связывающим три координаты любой ее точки.
•Если две поверхности, выражаемые уравнениями (я, У, я)=0 и F2 (х, у, 0=0, пересекаются по некоторой линии, то координаты каждой точки этой линии удовлетворяют обоим этим уравнениям. Обратно, если дана некоторая линия. в пространстве, то мы всегда можем представить себе две поверхности, к-рые проходят через эту линию и своим пересечением ее определяют.
Двумя уравнениями этих поверхностей выражается заданная линия. Т. о., изучение поверхностей и линий в пространстве сводится к изучению уравнений и систем уравнений.
Связь между анализом и геометрией таким образом распространяется, можно сказать, на все геометрич. формы. Классификация поверхностей в пространстве производится по тому же принципу, по характеру определяющих их уравнений, как и классификация плоских кривых. Теми же путями развертывается аналитическое их исследование .
Руководящие идеи А. г. служат основой всех прикладных дисциплин, в к-рых приходится пользоваться геометрией. Положим, что мы изучаем распределение тепла в пространстве. В определенный момент, в каждой точке пространства (ж, у, z) имеет место определенная температура Т; эта температура, т. о., представляет собою функцию координат Т=Ф (х, у, z). Если в нек-рой части пространства, напр. в нек-ром теле, установилось стационарное распределение температур* то определение термического состояния его сводится к разысканию функции Ф (я, у, z) на основании тех или иных данных. Если функция эта найдена, то уравнение Ф (х, у, z)=T0, где То есть данное значение нек-рой имеющей место в рассматриваемом теле температуры, выражает поверхность, на к-рой стоит одна и та же температура То — т. н. изотермическую поверхность. Распределением изотермических поверхностей наилучше характеризуется термическое состояние среды.
Совершенно таким же образом состояние электростатического поля вполне характеризуется значениями потенциала V в каждой точке (х, у, z) поля, т. — е. V = Ф(х, у, г), и разыскание функции Ф (х, у, z) по тем или иным заданиям составляет основную задачу электростатики. Методы установления тех уравнений (дифференциальных), решением (интегрированием) к-рых эта функция разыскивается, опираются на А. г.;
