в виде отрезков, а их произведения — в виде прямоугольников, параллелепипедов. В этих книгах мы встречаем определения простых и взаимно простых чисел, доказательство существования бесчисленного множества простых чисел, способ нахождения общего наибольшего делителя двух чисел последовательным делением (способ, являющийся основой современной теории чисел и алгебры), нахождение общего наибольшего делителя и общего наименьшего кратного нескольких чисел, изучение. арифметических и геометрических пропорций и прогрессий.
Книга 10 — я посвящена учению об иррациональных величинах, к-рые были открыты еще пифагорейцами; здесь Евклид предвосхищает многие достижения современной теоретической А., но обосновывает теорию иррациональных величин (в противоположность современной теоретической А.) чисто геометрическим путем, отказываясь даже признавать числом отношение двух несоизмеримых отрезков и ограничивая т. о. область чисел лишь целыми и рациональными; причина такого отказа весьма глубока и лежит, несомненно, в том обстоятельстве, что чисто арифметическое обоснование теории иррациональных чисел, к-рое, по существу, требовало понятия о пределе и о бесконечно малых величинах, казалось грекам неосуществимым. Арифметические предложения встречаются и в чисто геометрических книгах «Начал», — напр., предложение о том, что квадрат, построенный на сумме двух отрезков, равен сумме двух квадратов, построенных на каждом из них в отдельности, и двух прямоугольников, имеющих эти отрезки сторонами, — геометрическая формулировка соотношения: (а+&) а=а2+ +2ab + b2. Весьма важное значение для развития А. имела и теория подобия, к-рая неразрывно связана с теорией пропорций.
К концу 3 в. до хр. э. Эратосфен (276—194) указал способ выделения простых чисел из натурального ряда всех целых чисел («решето Эратосфена»); к этому времени можно считать обоснованной и законченной элементарную теорию делимости целых чисел.
Все указанные выше достижения в области А. были систематизированы и изложены, уже без связи с геометрией, в начале 2 в. в книге Никомаха из Геразы (Заиорданье), к-рая была особенно распространена в латинском переводе под названием «Introductio Arithmetica». Дальнейшее и значительное развитие идеи А. получили в трудах Диофанта(3—4вв. хр. э.), к-рый пользовался, по существу дела, отрицательными числами; но его работы относятся уже скорее к области алгебры и теории чисел. О практической арифметике древних греков, — задачами к-рой были вызваны в значит, степени их теоретические исследования, — до нашего времени дошло мало сведений; в сохранившихся греческих математических сочинениях чаще всего приводятся лишь численные результаты вычислений, самые же вычисления опускаются. Но и из имеющихся у нас данных об искусстве вычисления у древних греков все же явствует, что в этой области они ушли недалеко от егип 342
тян. Они усовершенствовали и несколько видоизменили счетную доску, абак, и установили обозначение десятичной системы счисления. Это был чрезвычайно важный, но в эллинской математике еще не получивший достаточного признания, шаг вперед в деле счета.
Десятичная система счисления была, собственно, наиболее распространенной, даже среди первобытных народов; объяснением этому может служить, в виду указанного вначале способа группирования, наличие десяти пальцев на руках, при помощи к-рых производились простейшие вычисления. Значительными культурами, употреблявшими другие системы счисления, являются упомянутая уже вавилонская с ее шестидесятиричной системой и китайская с ее двоичной системой. Греки, равно как и евреи, пользовались для обозначения чисел буквами своего алфавита, разбив их на три группы, из коих первая соответствовала единицам, вторая — десяткам и третья — сотням: 1 I
X
23456789 Л
р.
10 20 30 40 р
(7
Т
О
V
£
отс? или h
50 60 70 80 90 р
X
$
W
100 200 300 400 500 600 700 800 900.
Знаки г, 9 или $ и^, к-рые добавлены к общему алфавиту для получения необходимых 27 знаков, называются соответственно стау, копна и сампи. Тысячи обозначались штрихами с левой стороны буквы, так что, напр., 3 означает 4.000; буква р. (myrioi), поставленная справа от буквы, увеличивает ее значение в 10.000 раз, так что ^=400.000; для отделения одного числа от другого на последней его цифре ставился знак ', напр., означает два числа: 38 и 675; дробь отделялась от своей целой части промежутком, при чем знаменатель дроби писался как теперешний показатель степени, напр., 9 Р — 7 01а означает 43 — jj-.
Эта сложная система счисления, не опирающаяся на определенно выдержанный принцип, приводит к весьма громоздким, мало доступным выкладкам, даже в сравнительно простых случаях. Она лишает возможности изображать очень большие числа; этот, казалось бы, простой вопрос потребовал для своего решения усилий величайшего математика древности — Архимеда (3 в. до хр. э.), к-рый в своем сочинении «Псаммит» (счет песка) поставил себе задачу построить число большее, чем число песчинок, могущих поместиться внутри шара, обнимающего вселенную. Человек столь практического ума, как Архимед, занимается такой как будто бы праздной задачей, как исчисление песчинок, к-рые могли бы заполнить вселенную! Но за этим, в действительности, кроется задача об изыскании способа выражать большие числа и производить над ними вычисления. В эпоху Архимеда задачи астрономии, техники и механики уже настоятельно требовали более совершенных приемов, нежели элементарные вычисления, к-рыми ограничивались египтяне и восточные
