с любой степенью точности решать весьма просто все эти задачи. — С другой стороны, необходимо было приспособить индусскую систему к счету очень больших чисел, для чего система разрядов оказалась неудобной; эта задача была решена введением деления чисел на классы, обнимающие по нескольку разрядов и возрастающие в геометрической прогрессии; таким путем получили классы миллионов (обнимающие числа от одного до 999.999 миллионов), биллионов (от одного миллиона миллионов до 999.999 миллионов миллионов), триллионов и т. д. Нек-рые авторы, впрочем, понимают под биллионами тысячу миллионов, под триллионами — тысячу биллионов и т. д.
Под влиянием новых методов счета А. достигает полноты своего содержания, дифференцируется и выделяет две новых дисциплины, зачатки к-рых можно проследить в ней, начиная с древнейших времен. С одной стороны, от А. ответвляется теория чисел, с другой — наука о вычислениях точных и приближенных. Теория чисел, занимаясь исключительно свойствами целых чисел, их делимостью и пр., находится на границе между А. и алгеброй и пользуется по преимуществу методами последней. Вторая ветвь, теория вычислений, начинает развиваться, как самостоятельная дисциплина, после открытия и введения Непером логарифмов (1614). Дальнейшее ее развитие неразрывно связано с развитием открытого к тому времени анализа бесконечно-малых (см. Исчисление бесконечно-малых). Можно сказать, что нет такого отдела анализа, результатом к-рого не воспользовалась бы наука в деле вычислений.
В наше время сложных и трудных расчетов, когда на первое место выдвигается простота способов и сознательное отношение к точности вычисления, теория вычислений приобрела особенно важное значение, расширившееся далеко за пределы А. как по своему содержанию, так и по методам (см. Математические таблицы, Интерполяция, Бесконечные ряды, Исчисление конечных разностей, Вычислительные машины, Номография). К этой же ветви А. можно отнести коммерческую арифметику (см.), к-рая отличается от общей науки о вычислениях не по методам, а только по целям, и состоит в применении арифметических правил к торговой практике, что делали еще египтяне.
Возникшее в середине 19 в. стремление поставить математику вообще, и анализ в частности, на строго обоснованную почву привело, прежде всего, к необходимости пересмотра и обоснования А., что повлекло за собой создание теоретической или общей А. Исходя из непосредственного понятия о целом числе, уже элементарная А. наталкивается на невозможность производства простейших арифметических действий в области целых чисел; приходится вводить числа дробные, затем иррациональные, затем отрицательные — и т. о. постепенно расширять самое понятие о числе; это понятие обобщается еще больше после Эйлера и Гаусса введением комплексных чисел и может быть расширено еще далее на комплексные числа с многими единицами (см.Число). Указанные вопросы были успешно разрешены в трудах Грассмана, Вейерштрасса, Дедекинда, Кантора и др.; систематическое изложение их можно найти в книгах Вебера и Велыптейна и Stolz und Gmeiner (см. ниже лит.). Задача обоснования или, как говорят, аксиоматика А. неразрывно связана с исследованием законов нашего мышления вообще и, в частности, логики, при чем здесь является существенной необходимостью освободить логику от метафизики, внесенной в нее многими философскими исследованиями. Укажем для примера на такие логические проблемы, как доказательство от противного, закон исключенного третьего, закон полной индукции или доказательство от п к п+1 и т. д. Здесь встречаются громадные трудности, и вопрос не может окончательно считаться решенным, даже в том объеме, как он решен для геометрии, хотя за самое последнее время он значительно был подвинут работами знаменитого германского математика Гильберта.
Лит.: По истории А.: Ф. Кэджори, История элементарной математики, 2-е изд., Одесса, 1917; J. Tropfke, Geschichte der elementaren Mathematik, 2 — e Ausgabe, Bd. I — Rechnen, Bd. II — Allgemeine Arithmetik, Bd. Ill — Proportionen, Gleichungen, Leipz., 1921—22. Классические сочинения средневековья no A.: Leonardo Pisano, Liber Abaci, 1202; Lucas Pacioli (di Borgo), Summa de Arithmetica, 1494; S. S t e v i n (de Bruges), La Disme, 1586. Современное обоснование А. можно найти в следующих сочинениях: Г. Вебер и И. Вельштейн, Энциклопедия элементарной математики, т. I, 3-е издание, Москва, 1926; Таннер и, Н., Курс теоретической н практической арифметики, СПБ, 1913; Борель Э., Элементарная математика в обработке П. Штекеля, ч. I — Арифметика и Алгебра, изд. 2-е, Одесса, 1923; О. Stolz und J. Gmeiner, Theoretische Arithmetik, Leipzig, 1902; Васильев, A. B., Целое число, П., 1919; Farber, Arithmetik, Leipz., 1911. Вопрос о школьной А. выходит за пределы настоящей статьи (см. Методика преподавания в начальной школе). Вследствие этого ограничимся лишь указанием нек-рых вышедших за последнее время учебников А. различного объема: Лебеди нц е в, Счет и мера, Л. — М., 1925; Шохор-Троцк и й, Учебник начальной арифметики, П. — М., 1923; Бем иКотович, Теоретическая арифметика, Петроград, 1923.
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ, или
арифметический ряд, есть ряд чисел, в к-ром каждый член получается из предыдущего путем прибавления к нему одного и того же числа d, называемого разностью этой А. п. Т. о., каждая А. п. имеет вид: a, a+d, a+2d, a+%d, ... Если d > 0, то каждый член А. п. больше предыдущего; она называется в этом случае возрастающей. Если d < 0, то каждый член меньше предыдущего; А. п. называется в этом случае убывающей. Ясно, что n-ый член А. п? ап=а+(п — l) d. Простейшей А. п. является натуральный ряд чисел 1, 2, 3, ... п. А. п. может содержать ограниченное или неограниченное число членов. Если А. п. содержит п членов, то можно определить ее сумму, подписав под ее членами в обратном порядке те же члены и складывая обе А. п. почленно. Напр.: 0, 3, 6, 9, 12, 15 15, 12, 9, 6, 3 0
15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15= 15. 6.
Сумма данной А. п. равна ^Лб. б. Таким же образом в каждой А. п. сумма п членов (ал+ап) п п „ есть число 5П=~ — g------В. Каган.
