противоречия, но что как раз именно прогрессивное движение в противоречиях и составляет своеобразную природу и человеческого мышления и мирового процесса.
V. Важнейшие этапы в истории понятия Б. Анаксимандр, ионийский натурфилософ, делает Б. (apeiгоп) принципом и элементом мира, исходным пунктом мирового развития. Пифагорейцы в своей таблице категорий или основных понятий выставили в качестве первой пары противоположностей: предел и беспредельное. Существенный прогресс в анализе диалектики Б. замечается у Платона (в диалоге «Филеб»). Наиболее развитой анализ Б. в древности находим мы у Аристотеля. Он развивает понятие истинно-бесконечного: истинно-бесконечное движение — по Аристотелю — не прямолинейное движение, но движение, возвращающееся к себе, движение по кругу. Понятие истинно-бесконечного содержится у него также и в понятии цели. Цель есть нечто возвращающееся к себе, поэтому — Б. В новой философии преимущественно Спиноза развивал понятие истинно-бесконечного (бесконечное мышление), как осуществленного Б., к-рое он отличал от бесконечного в представлении (imaginatio). Истинное Б. заключается, следовательно, у него в понятии самопричины (causa sui), где причина и действие теряют свои отличительные признаки и сливаются для образования понятия бесконечного взаимодействия.
Лит.: I. Гегель, Г. Ф. В., Логика, кн. 1, пер. В. Чижова, М., 1861; G. F. W. Hegel, Enzyklopadie, I Teil, Samtliche Werke, B. 5, 3 Aufl., Lpz., 1923; Энгельс, Ф., Переворот в науке, произведенный г. Е. Дюрингом, М., 1923; его же, Диалектика природы («Архив К. Маркса и Ф. Энгельса», т. 2, М., 1925); Деборин, А., Диалектика у Канта («Архив К. Маркса и Ф. Энгельса», т. 1, Москва, 1924).
II. Ленин, Н., Материализм и эмпириокритицизм, Собр. соч., т. X, Москва, 1925; Сочинения И. Дицгена.
IV. Кант, И., Критика чистого разума, перев.
Лосского, СПБ, 1907; указанные выше работы Гегеля и Ф. Энгельса («Анти-Дюринг»).
V. G. F. W. Неgе 1, Vorlesungen fiber die Geschichte der Philosophic (Samtliche Werke, B. 8, Lpz., 1919—20); Аристотель, Метафизика (рус. перев. первых 5 книг в «Журн. Министерства Народного Просвещения», СПБ, 1890, 91, 93, 95, книга 12 — в перев. А. Водена, в «Книге для чтения по истории философии» под ред. А. Деборина); Платон, Филеб («Сочинения» в перев. Карпова, ч. 5, М., 1879); Спиноза, Б., Этика, перевод В. Модестова, СПБ, 1886; его же, Переписка, перев. Л. Гуревич, спб, 1891.
БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ, произведение, число сомножителей которого ^2, G3..., ап ...
(1) неограниченно возрастает. Точнее, если положим: Рп := ^1* ^2* «3 — ^П > (1а) то говорят, что Б. п. членов ряда (1) сходится, если рп стремится к конечному пределу р, когда п неограниченно возрастает; число р в этом случае называют значением этого Б. п. — Первые Б. п. возникли в связи со стремлением дать точное выражение числа ». Виета дал для этой цели (1646) сложное Б. п.:
2 = J/Z . 1/. 1/АД/ГДуТ...
К
Г2
Г2'
2 Т2 Г 2 +2 " 2
Валлис дал гораздо более простое Б. п.: К = 2 4 4 6 6 _8 4
3 ’ 3 ’ 5 * 5 ’ 7 ’ 7 ’ ’ ’
Однако, и это Б. п., часто встречающееся в математических исследованиях (напр., при вычислении нек-рых определенных интегралов), мало пригодно для вычисления яг.
Действительно полезные и значительные применения Б. п. в широком масштабе дал только Эйлер. Критерии сходимости Б. п. впервые дал Коши (1821). Прингсгейм привел этот вопрос к такому же завершению, какое доступно для соответствующего вопроса в теории бесконечных рядов (см.), в тесной связи с к-рыми всегда развивалось учение о бесконечном произведении.
Б. п. равно 0, если один из сомножителей Б. п. равен 0, или если все его члены, начиная с нек-рого, становятся по абсолютному значению меньше нек-рой правильной дроби а. Если исключим из рассмотрения этот случай, вследствие его простоты, то основной признак сходимости Б. п., соответствующий признаку Коши для бесконечного ряда, заключается в том, что произведение •£ • ап 2 • 4 — з••• ап^Г]1 — рп + Рп должно при любом к стремиться к единице, когда п неограниченно возрастает. В частности, к единице должно стремиться и ап . Поэтому целесообразно положить ап = 1 + сп; тогда сп неизбежно должно стремиться к 0. Для Б. п., в которых сп, начиная с нек-рого п, сохраняет один и тот же знак, вопрос о сходимости исчерпывается следующей основной теоремой: для того, чтобы такого родаБ. п. схо д илось, необходимо и достаточно, чтобы сходился бесконечный ряд: ci + + сз + ••• + сп ••• (2) Дело обстоит, однако, совершенно иначе, если члены ряда (2) меняют знак неограниченное число раз, или если они имеют комплексные значения. Впрочем, если и при этих условиях ряд (2) сходится абсолютно, то сходится и Б. п. (1а); в этом случае говорят, что это Б. п. сходится абсол ютно. В абсолютно сходящемся Б. п. значение его не зависит от порядка его сомножителей. Но если ряд (2) сходится не абсолютно или даже вовсе расходится, то вопрос о сходимости Б. п. требует гораздо более сложных исследований. Этим в последнее время много занимались Дини и Прингсгейм. — Значение Б. п. заключается, гл. обр., в том, что многие функции удобно выразить в Б. п. и уже от этих последних перейти к бесконечным рядам (см. Эллиптические функции, Теория функций).
Лит.: К. Кпорр, Theorie*und Anwendung der unendlichen Reihen, В., 1922; A. Pringsheim, Ueber die Konvergenz unendlicher Produkte, «Mathem.
Annalen», Bd. 33 (стр. 119—154).
БЕСКОНЕЧНЫЕ КАНАТЫ И ЦЕПИ, в гор ном деле применяются для перевозки по горизонтальным и наклонным путям в рудниках и реже на поверхности. К канату или цепи прикреплены вагонетки, двигающиеся по рельсам. Цепи применяются при сильно наклонных путях. Длина цепной дороги 600—800 м, редко до 2.000 м. Наибольшая пере-
