БИНОКУЛЯРНЫЙ ТЕЛЕСКОП — БИНОРМАЛЬБИНОКУЛЯРНЫЙ ТЕЛЕСКОП, состоит из двух параллельных зрительных труб и служит для наблюдения отдаленных предметов двумя глазами сразу (как в бинокль).
Б. т. мало употребителен, вследствие непригодности для микрометрич. измерений, а также и вследствие своей большой стоимости.
БИНОМ, алгебраическое выражение, состоящее из двух членов, двучлен.
БИНОМ НЬЮТОНА, обычное название формулы, выражающей любую целую положительную степень суммы двух слагаемых («бинома», двучлена) через степени этих слагаемых, а именно:
(а+6)» =
тальное значение этой формулы для теории вероятностей и математической статистики, где целые методы исследования основываются на детальном изучении биномиальных коэффициентов.
Лит.: I. Классическая: В. Pascal, Traits du triangle arithmetique, P., 1665; J. Wallis, Treatise of algebra, London, 1673 и 1685; J. Вernо u 1 1 i, Ars conjectandi, Basel, 1713. II. Новая: Сборник «Synopsis», В., 1891 (помещенная здесь ст. I. С. Нagеп ’а содержит классификацию соотношений между биномиальными коэффициентами); см. также G. Eisenstein, Brief an М. A. Stern, «Zeitsclirift f. Math.», № 40, 1895. III. Более элементарная и в сводном виде: Вебер, Г. иВельштейн, И., Энциклопедия элементарной математики, том I, выпуск I, 3 издание, ГИЗ, Москва, 1927; К. Knopp, Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, Berlin, 1922.
БИНОМИАЛЬНЫЕ
+ ra(n~у-(ге~ — — «"-*&*+...+ъп, 1 . 2... а
где п — целое положительное число, а и Ъ — какие угодно числа. Коэффициенты этого разложения («биномиальные коэффициенты») имеют много замечательных свойств: все они — целые числа; коэффициенты членов, равностоящих от начала и конца разложения, одинаковы; коэффициенты возрастают от концов разложения к его середине; сумма коэффициентов равна 2п. Коэффициент при члене ап~кЬк может быть также записан п! в виде — тух сокращенно его обозна'^П~~ ’ /п\ г^к чают посредством ( — ) или С* ; последнее обозначение обусловлено связью с теорией сочетаний: С* есть число сочетаний из п элементов по к. Формула Б. Н. для целых положительных показателей была известна задолго до Ньютона; но им была указана (1676) возможность распространения этого разложения и на случай дробного или отрицательного показателя (хотя строгое обоснование этого было дано лишь Абелем, 1826). В этом более общем случае мы имеем формулу, к-рая начинается так же, как формула (1); коэффициентом при ап~кЬк служит п(п — 1) ...(п — ^+1) выражение------- / о v--------, к-рое, вслу1 . 2 ... К чае целого положительного п, обращается в нуль при всяком Л>п, вследствие чего формула (1) содержит лишь конечное число членов. В случае же дробного или отрицательного п, все биномиальные коэффициенты отличны от нуля, и правая часть формулы содержит бесконечный ряд членов («биномиальный ряд»). Если |6|<|а|, то этот ряд «сходится», т. е., взявши достаточно большое число его членов, мы получаем величину, сколь угодно близкую к (« + &)”; т. о., получаемый ряд может служить для приближенного вычисления этой величины (см. Бесконечный ряд). Формула Б. Н. играет основную роль почти во всех областях математики и ее приложений. Доказательство ее может быть проведено различными путями, проще всего — методом полной математической индукции (см.).
Из многочисленных применений формулы Б. Н. следует особо отметить ее роль в дифференциальном и разностном исчислениях, целый ряд приложений в высшей арифметике (теории чисел) и, наконец, фундамен 256
КОЭФФИЦИЕНТЫ,
коэффициенты в формуле разложения бинома Ньютона (см.).
БИНОМИАЛЬНЫЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛ,
или дифференциальный бином, выражение вида хт (a-{-bxn) pdx, (1) где а, Ь — какие угодно постоянные, отличные от 0, а т, п и р — рациональные числа.
Интеграл от Б. д. подстановкой xn = t сводится к интегралу /(« + btyfidt, (2)
m-j — 1 где q = — - — — 1. Интеграл (2) легко выражается в элементарных функциях в тех случаях, когда одно из чисел р, q, p-\-q целое.
Известный рус. математик И. Л. Чебышев показал, что, за исключением этих трех случаев интегрируемости, интеграл (2) не может выражаться в элементарных функциях. В этом случае мы можем лишь, посредством рекуррентных формул, привести Б. д. к простейшей форме, где р и q заключены между 0 и 1.
Лит.: Чебышев, П., Об интегрировании иррациональных дифференциалов, в I т. собр. соч. Чебышева, подред. А. Маркова, СПБ, 1899. И. Б.
БИНОМИНАЛЬНЫЙ
РЯД,
см.
БИНОРМАЛЬ в данной точке пространственной кривой есть прямая, перпендикулярная к касательной и к главной нормали к кривой в этой точке. Если на кривой установлено направление, в котором мы по ней передвигаемся, то тем самым в каждой точке определяется сторона, у в которую обращена v касательная; главная \ нормаль обращена к ”* центру кривизны; Б. S обращена таким об-' разом, что наблюда\ тель, стоящий головой по направлению Б. и п смотрящий на касательную, имеет главную нормаль с правой стороны. Если через t и п обозначим единичные векторы, направленные по касательной и главной нормали, а b есть единичный вектор, направленный по Б., то b = [tn]. Эти три направления образуют в каждой точке ортогональный триэдр, теперь часто называемый триэдром Дарбу. При передвижении по кривой движется и этот триэдр,
