звенья и имена совершенно утрачены. Около 4 в. до хр. э. уже стали появляться сводные сочинения под названием «Начал Г.», имевшие задачей систематизировать добытый геометрический материал. Такие «Начала», по свидетельству Прокла, составили Гиппократ Хиосский, Феодосий из Магнезии, Гиероним Колофонский и др. Ни одно из этих сочинений до нас не дошло: все они утратили свое значение и были забыты, когда появилось замечательное руководство по Г. — «Начала» Евклида, жившего в конце 4 — го — начале 3 — го в. до хр. эры.
Первый Александрийский период. Евклид. Евклид жил в Александрии в эпоху, когда там образовался наиболее крупный центр греч. научной мысли.
Опираясь на труды своих предшественников, Евклид создал глубоко продуманную систему, сохранявшую руководящую роль в течение свыше 2 т. лет. «Составитель Начал» — это прозвище сделалось как бы собственным именем, под которым все позднейшие греч. математику разумели Евклида, а его «Начала» сделались учебником, по к-рому в течение двух тысячелетий учились Г. юноши и взрослые. Даже те учебники, по которым ведется первоначальное обучение Г. в наше время, по существу представляют собой переработку «Начал» Евклида.
Материал, содержащийся в «Началах», по существу охватывает элементарную Г., как мы ее понимаем в наст, время. Метод построения Г. у Евклида позже характеризовали словами «geometriam geometrice» — строить Г. исключительно геометрическими средствами, не внося в нее чуждых ей элементов. Это означает прежде всего, что Евклид не прибегает к арифметическим средствам, т. е. к численным соотношениям. Равенство (конгруентность) фигур у Евклида означает, что они могут быть совмещены движением, неравенство — что одна фигура может быть целиком или частями вмещена в другую. Равновеликость фигур означает, что они могут быть составлены из равных (конгруентных) частей. Именно этими средствами, не прибегая даже к пропорциям, Евклид доказывает, что каждый многоугольник может быть преобразован в равновеликий треугольник, а треугольник — в квадрат. Установив при помощи движений (наложений) условия равенства фигур, Евклид стремится в дальнейшем только на эти условия и опираться, не возвращаясь к движениям. Теорема Пифагора у Евклида имеет только то содержание, которое устанавливается его доказательством: квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, может быть разложен на части, равновеликие квадратам, построенным на его катетах; связанное с этим алгебраическое соотношение численных значений гипотенузы и катетов ему совершенно чуждо. Но мало того, что Евклид не пользуется числовыми соотношениями, — он устанавливает геометрические соотношения, эквивалентные основным алгебраическим тождествам, установленным гораздо позже; этому посвящена почти половина 2-й книги «Начал». Так, теорема о квадрате суммы получает у него выражение в разложении квадрата, построенного на отрезке а + &, на дваквадрата а. а и Ь. Ъ и на два прямоугольника а. Ъ (рис. 2). Евклид дает 12 таких теорем и таким образом строит своеобразную «геометрическую алгебру». Эта «геометризация» у Евклида ота. Ь. а, а. нюдь не представляет собою искусственного подхода, каким она может b. d. ъ. ъ. представляться современному читателю. Напротив, наглядные формы этих Рис. 2. предложений, в которых мы их находим в «Началах», вф то время только и были известны.
Процесс отвлечения дошел до геометрической абстракции, но не дальше. Когда мы обращаемся к пропорции, то мы в наст, время себе таковую не мыслим иначе, как в виде равенства двух чисел — отношений. Для греч. математика того периода отношение как число не существовало; самое предложение, что два отрезка могут быть несоизмеримы, доказанное впервые, повидимому, Пифагором, толковалось в том смысле, что такие отрезки вовсе не имеют отношения. Вообще, число — для грека той эпохи — означало целое число; учение о дробях было крайне сбивчиво, а идеи об иррациональном числе не существовало вовсе. Поэтому об отношении двух несоизмеримых отрезков греч. математик того времения говорить не мог.
Задача заключалась, т. о., в том, чтобы учение о пропорциональности и подобии, главные черты которого были интуитивно ясны, облечь в такую форму, которая, сохраняя всю необходимую точность, не создавала бы затруднений для случая несоизмеримых элементов отношения. Эта задача была решена Евдоксом.
Эта теория пропорциональности сводится к следующему. Пусть А и В будут два значения одной и той же величины, напр., два отрезка, А' и. В' — два других значения той же или иной величины. Мы берем произвольно два целых числа тип и составляем кратные mA и пВ и в то же время кратные mA' и пВ'. Если при любом выборе коэффициентов т и п то из соотношений тА=пВ, тА>пВ, тА<пВ, какое имеет место, влечет за собой соответствующее соотношение тА'=пВ', тА'>пВ', mA'<пВ', то мы будем говорить, что значения А и В пропорциональны значениям А' и В' или что А находится в том же отношении к В, как А' кВ'; в соврем, обозначениях А-. В — А'. В'.
Из этого определения, совершенно не оперирующего отношениями как числами, со всею строгостью выводится вся обычная теория пропорций. Должно быть присоединено только определение сложного отношения. Если А: А' и В:В' суть два отношения (в нашем понимании — два числа), то под составленным из них сложным отношением мы разумеем произведение этих чисел. Если А и В суть основание и высота прямоугольника S, а А' и В' — основания и высота прямоугольника S', то отношение площадей S:S' равно отношению, составленному из отношений А:А' и В:В'. Обычное доказательство этого предложения заключается в том, что строится третий прямоугольник Т таким образом, что A:A'=S:T и B:B'=T:S' (1).
По Евдоксу, предложение «8 находится к S' в отношении, составленном из отношений А: А' и В:В'» только и означает, что существует такое Т, при котором имеют место пропорции (1). Таким образом, и в терминологии Евдокса остается справедливым предложение, что два прямоугольника находятся в сложном отношении, составленном из отношений оснований и высот; но понятие о численном значении отношения исключается.
По словам Евдема Родосского, Евклид усовершенствовал и уточнил теорию пропорций Евдокса; это и составляет содержание 5-й книги «Начал», на основании которой в 6-й книге построено учение о подобии
