том работ древних и новых геометров о поризмах, проекционных методах, геометрии положения, трансверсалях, двойственности и т. д.» («Systematische Entwickelung etc.», 1832). И все-таки в самой основе построения Штейнера оставалось, с точки зрения тех тенденций, по к-рым проективная Г. развивалась, слабое место: понятие об ангармоническом отношении дает единую точку отправления для построения всей проективной Г.; но ангармоническое отношение есть число, и, т. о., новая синтетическая Г. построена Штейнером в конечном счете не на геометрическом, а на арифметическом фундаменте. Выход из этого противоречия нашел Штаут. Если ангармоническое отношение четырех точек (ABCD) равно — 1, т. е., если точка С делит отрезок АВ внутренне в таком же отношении, в каком точка D делит его внешне, так что численно АС:ВС — =AD:BD, то расположение точек ABCD называется гармоническим. Уже Штейнер показал, что если установить геометрическое преобразование таким образом, чтобы четырем гармоническим точкам всегда соответствовали также четыре гармонические точки, то преобразование будет проективным, т. е. и ангармоническое отношение любых четырех точек на прямой останется инвариантным. С другой стороны, в так называемом полном четырехугольнике KLMN с дополнительными вершинами А и В (пересечениями противоположных сторон) диагональ АВ делится гармонически двумя другими диагоналями NL и МК в точках С и D (рис. 5). Сообразно этому Штаут определяет гармоним ческое расположение четырех точек АВ CD, лежащих на одной прямой, тем, что АВ представляет собою | одну диагональ полного четырехугольниРис. 5. ка, а через точки С и D проходят две другие его диагонали. Основываясь на теореме Дезарга, Штаут обнаруживает, что по трем точкам АВС прямой, заданным в определенном расположении, четвертая гармоническая определяется однозначно, т. е. не зависит от того, как мы построим вспомогательный четырехугольник. Т. о., понятие о гармоническом расположении четырех точек может быть установлено чисто геометрически. Теперь проективное соответствие определяется как преобразование или корреляция, при котором четырем гармоническим элементам (точкам на прямой, прямым пучка, и т. п.) всегда отвечают снова четыре гармонических элемента; этим Г. совершенно освобождается от связи с арифметическими элементами и становится Г. положения (Ch. von Staudt, Geometric der Lage, 1847). Эта дисциплина в такой мере чужда метрики, что она не оперирует даже понятиями о равенстве . и неравенстве. Тем не менее, она дает очень своеобразный метод для построения геометрических мест. Так, напр., коническое сечение в проективной Г. определяется как геометрическое место точки А, лежащей в пересечении соответствующих лучейдвух проективно сопряженных пучков (S) и (S') (рис. 6). В общем случае определенное таким образом коническое сечение задается пятью своими точками — двумя центрами пучков /8 и 8' и точками А1} А2, А3, которые должны быть заданы для полного определения проективного соответствия пучков sr\~----- ------- X, (8) и (8') — В частных I случаях сечение мо- \ \а t жет выродиться в X.
/V прямую, тогда соответствие пучков (8) и (S') является прорис. 6. сто перспективным.
Таким образом, конические сечения Аполлония оказались кривыми второго порядка в системе Декарта и геометрии, местом точки пересечения соответственных лучей двух проективно сопряженных пучков в Г. Штейнера-Штаута. Эта новая система, этот новый метод исследования привел к обнаружению новых, чрезвычайно замечательных свойств этих кривых, к теории двойственности, к теории полюсов и поляр, и т. д.; этот же метод вскрывает эти свойства и на поверхностях 2 — го порядка; развитие идей Паскаля приводит к их построению по девяти точкам. Дальнейшим своим развитием проективная Г. обязана франц. геометру Шалю (Chasles), к-рый показал, как с помощью трех проективных пучков строятся кривые 3 — го порядка; возникает проективная теория алгебраических кривых, которая приносит с собою своеобразные методы их исследования и новые результаты, развертывающиеся с поразительной быстротой. Вышедший в 1862 трактат Рейе (Th. Reye, Geometrie der Lage) привел это построение к некоторому завершению; но уже следующее его издание (1886) потребовало почти удвоенного объема.
Возникшие из изобразительной Г. проективные методы дают новые средства графического изображения, построения кривых по точкам, построения очертаний поверхностей, и т. д. Более того, плодотворность этих методов приводит к тому, что они проникают в механику. Подобно тому как в свое время аналитическая Г. привела к созданию аналитической механики, теперь методы изобразительной и проективной Г. ведут к построению графостатики (см.), ставящей себе задачей установление графич. методами условий равновесия сочленового механизма. Эти методы в наст, время получили в этой области преобладающее значение.
Алгебраическая Г. При всем том значении, к-рое синтетические методы Г. получили в 19 в., не следует думать, что они вытеснили аналитические приемы. Напротив, аналитическая Г. продолжала широко развиваться в самых разнообразных направлениях. Прежде всего ответвляется алгебраическая Г., т. е. учение об алгебраических кривых (см.), алгебраических поверхностях и их пересечениях. Чрезвычайно углубленные исследования в этом направлении развертываются по трем путям. Первый путь через развитие методов аналитической Г., применявшихся к исследованию кривых
