ГЕОМЕТРИЯ1868). Это была вступительная лекция, к-рую Риман прочел в заседании философского факультета Гёттингенского ун-та в 1854 в присутствии Гаусса для получения звания приват-доцента. Риман этой рукописи не опубликовал, так как она нуждалась в значительной разработке. Дедекинд ее опубликовал в 1868 со своими комментариями. Этот небольшой мемуар содержал ряд чрезвычайно глубоких геометрических идей, представлявших собою развитие дифференциальной Г. Гаусса. Но эти идеи находились уже, как показывает самое заглавие мемуара, в тесной связи с другим направлением в Г. — с учением об основаниях Г., представляющим чрезвычайно замечательное достижение Г. 19 века.
V. Неевклидова геометрия.
Предшественники неевклидовой Г. В истории Г. нового времени, при огромном накоплении фактов, при смене задач и методов, интерес к логической стороне дела, к обоснованию Г., можно сказать, никогда не ослабевал. Он выражался прежде всего в стремлениях исправить Евклида, восполнить те дефекты, которыми «Начала» как строго логическая система изобилуют.
Если аналитическая Г. старалась избавиться от интуиции, перелагая исследование на формальные методы алгебры и анализа, то логическое направление стремилось преодолеть интуицию путем построения логически выдержанной, чисто геометрической системы.
Вопросы, над к-рыми с этой точки зрения размышляли комментаторы Евклида, чрезвычайно многообразны, но несомненно главный из них — это брешь в теории параллельных линий. Начавшиеся уже в эллинскую эпоху попытки доказать постулат о параллельных линиях, т. е. вывести его как логическое следствие из остальных постулатов, в средние и новые века неизменно продолжались. Кестнер, занимавший кафедру Г. в Гёттингене во второй половине 18 в., и его ученик Клюгель имели уже возможность составить большой перечень предложенных доказательств, анализ к-рых, однако, неизменно обнаруживал их ошибочность. Трудно указать выдающегося математика, начиная с Птолемея и кончая Лежандром, к-рый не прилагал бы усилий к тому, чтобы, по выражению Лобачевского, заделать брешь в теории параллельных линий. Ошибки доказательств иногда заключались в прямых погрешностях, к-рые допускали авторы, запутавшиеся в сложных построениях, чаще же всего в том, что вместо доказываемого постулата явно или неявно вводился другой постулат, ему равносильный. Между тем, весь смысл задачи заключался в том, чтобы доказать постулат, т. е. вывести его строго логическим путем из остальных постулатов Евклида, не вводя вместо него никаких других допущений. Обычно эти рассуждения проводились по схеме доказательства от противного: принимали положение, противное доказываемому, и старались привести проистекающие из этого выводы к явному логическому противоречию с предыдущими, уже установленными предложениями. Однако, геометры, подходившие к этому вопросу стонким геометрическим чутьем, такого противоречия не получали. Если иным казалось, что они этой цели достигли, то это заблуждение чаще всего коренилось в том, что авторы в ту пору еще не вполне сложившегося анализа оперировали недостаточно четко с бесконечно-большими или бесконечно-малыми величинами, чрезмерно свободно пользуясь которыми можно доказать все, что угодно. В 1733 итал. иезуит Саккери выпустил сочинение под названием: «Евклид, очищенный от всех пятен» (J. Saccheri, Euclides ab omni naevo vindicatus). Задача этого сочинения, как показывает самое название, состоит в том, чтобы исправить все недостатки «Начал» и прежде всего, конечно, обосновать теорию параллельных.
Теория эта, действительно, получила в этом сочинении совершенно новое освещение.
Исходя, как и другие, из противоположного допущения с целью доказать постулат о параллельных, Саккери, однако, не впадает в ошибку так легко, как другие, а, напротив, очень тонко выводит ряд предложений, к-рые имели бы место, если бы постулат о параллельных не был справедлив.
Он устанавливает таким образом 32 предложения, к-рые по существу представляют собой как бы первую главу неевклидовой Г.
Обычное доказательство того, что сумма углов треугольника равна двум прямым, как известно, коренным образом опирается на постулат о параллельных линиях. Саккери независимым способом обнаруживает, что сумма углов треугольника не может быть более двух прямых; если принять постулат о параллельных линиях, то она равна двум прямым; если его отвергнуть, то она должна быть меньше двух прямых. Из допущения, что сумма углов треугольника меньше двух прямых, Саккери и исходит в своих построениях, но в 33-м предложении он запутывается на элементарных соображениях, относящихся к бесконечно удаленным точкам. Сочинение Саккери в ту пору осталось мало кому известным. — Нем. математик и философ Генрих Ламберт в середине 18 в. опубликовал сочинение: «Теория параллельных линий», содержащее почти все выводы Саккери; но он уже не запутался в своих рассуждениях, а просто констатирует свое бессилие достигнуть намеченной цели. Особенно много этой задачей занимался Лежандр, предлагавший в различных изданиях своих «Начал» доказательства постулата, в недостаточности которых он сам затем убеждался. В начале 19 века целый ряд частью начинающих, частью опытных геометров (Швейкарт, Вахтер, Тауринус) углубляют результаты Саккери и Ламберта, не владея сочинениями этих авторов.
Открытие неевклидовой Г. Чрезвычайно замечательно, что в конце 20 — х гг. задача о параллельных линиях получила разрешение независимо друг от друга в трех различных местах Европы: Гаусс в Гёттингене, И. Больяй в небольшом городке Трансильвании и, наконец, Н. И. Лобачевский в Казани почти одновременно пришли к необычайно своеобразному решению этого вопроса. Вот как характеризует существо этого решения Гаусс: «Допущение, что сумма 12*
