открыл в развитии идей неевклидовой Г. новую эпоху. Каждая интерпретация Г. имеет под собою нек-рый субстрат: совокупность точек пространства, плоскости или поверхности, совокупность точек, лежащих внутри абсолюта, и т. д. В проективной Г. начало двойственности дает возможность строить ее как Г. прямых; субстратом служит, т. о., совокупность прямых; можно строить Г., субстратом к-рой служит совокупность плоскостей. Другие интерпретации оперируют с иными субстратами. Риман широко обобщает эту идею. Субстрат Г. Риман представляет себе в виде какого угодно «многообразия» (Mannigfaltigkeit), т. е. какой угодно совокупности объектов, конкретных или абстрактных, каким-либо признаком выделенных в обособленную группу. По взгляду Римана, такое многообразие может состоять не только из точек, прямых, плоскостей, но и из звуков, цветов, из всех тех физических объектов, к к-рым применяется геометрическое исследование, в особенности в том более широком значении этого слова, к-рое ему придает Риман; оно может состоять и из чисто абстрактных объектов, из чисел или числовых групп. Подходя к построению Г. аналитически, Риман принимает, что для данного многообразия установлены нек-рые средства, дающие возможность численно координировать в нем элементы, т. е. определять элемент нек-рой группой чисел. Если элемент многообразия определяется п числами, то Риман называет его n-мерным многообразием или многообразием п измерений.
Если упрощенно представлять себе совокупность звуков, отличающихся только амплитудой и частотой колебаний, то это и будут два численных задания, к-рыми определяется элемент этого двумерного многообразия.
Точно так же совокупность всех цветов, которые можно получить смешением трех красок, представляет многообразие двух измерений; координатами каждого элемента (цвета) этого многообразия являются числа, выражающие процентное содержание двух основных красок (содержание третьей этими числами определяется). Совокупность цветов, к-рые могут быть получены смешением пяти красок, образует многообразие 4 измерений, и т. д. Совокупность точек плоскости представляет собою многообразие двух измерений, а совокупность всех прямых в пространстве — многообразие четырех измерений. Совокупность всех комплексных чисел вида Ы есть многообразие двух измерений, совокупность более сложных комплексных чисел вида a-\-bi+bj + dk, т. н. кватернионов (см.), образует многообразие 4 измерений. — Числа, определяющие элемент n-мерного многообразия, его координаты, мы будем обозначать через х19 х2,..., хп.
В различных многообразиях можно говорить об удалении двух элементов или о расстоянии между ними, различно эти расстояния понимая. Это расстояние мы себе одним способом представляем в многообразии точек, другим — в многообразии прямых; можно говорить о взаимном удалении двух цветов или двух звуков и, выразив это удаление численно, называть его расстоянием этих элементов. Всякое многообразие, междуэлементами которого численно установлены расстояния, Риман называет пространством, а его элементы — т очками. В этом смысле пространство представляет собощ широкое обобщение того понятия, к-рое с этим термином соединяла традиционная Г.
Таким обр., когда мы говорим о многомерном пространстве, то этот термин нужно понимать в этом новом значении слова, в к-ром не содержится ничего метафизического. Положим, что в n-мерном пространстве заданы две бесконечно близкие точки (жп х2, ..., хп) и (xt + dx19 х2+ dx2, ..., хп + dxn). Расстояние между ними, очевидно, есть функция от (х19 х2, ..., хп) и (dx19 dx2, ..., dxn). Если речь идет о двумерном пространстве, к-рое представляет собою нек-рую поверхность в обыкновенном трехмерном пространстве, то это расстояние выражается основной формой поверхности (2), к-рую можно представить в виде ds2=S gapdxadxp, где суммование распространяется на значения индексов а и (а=1, 2, Д=1, 2). В обобщение этого Риман ставит себе задачей изучить все возможн. пространства любого числа измерений, в к-рых элемент длины определяется формулой ds*=S gaf) dxadXp (19), где суммование в случае пространства п измерений распространяется на все значения индексов а и от 1 до п\ самые коэффициенты дар представляют собою функции от координат xL, х2, Здесь правая часть представляет собою в каждой точке положительную квадратичную форму, т. неосновную форму этого пространства, определяющую его Г.
Когда эта форма задана, то из нее можно развить всю Г. соответствующего пространства, подобно тому, как, по Гауссу, строится Г. поверхности по ее основной форме. Г., построенная в этом порядке идей, носит по настоящее время название римановой. Так как основная форма может быть выбрана чрезвычайно многообразно, то столь же многообразны различные системыримановой Г., при чем каждая система имеет свою метрику 1-мерных, 2-мерных, ..., m-мерных образов соответствующего пространства. Геометрия, основная форма к-рой может быть приведена к виду ds2 = dx2L + dxl +... + dx2, есть евклидова Г. n-мерного пространства.
Все другие римановы Г. суть неевклидовы.
Т. к. в гиперболической Г. квадрат элемента длины также приводится к виду (19), то она представляет собою одну из разновидностей римановой Г. Понятие о неевклидовой Г. получило, т. о., широкое развитие, и Г. Лобачевского-Больяй заняла в этом комплексе геометрических систем лишь скромное место.
Хотя Риман не ставил еще в. общей форме вопроса о значении евклидовой и гиперболической Г. в общей системеТ., тем не менее, в его мемуаре содержится по существу ответ на этот вопрос. Особенностью риманова пространства с произвольной основной формой является то обстоятельство, что оно не однородно в различных своих точках и в различных своих направлениях вокруг каждой точки. Подобно тому как кристалл отличается от изотропного тела тем, что его свой-
