действуют всегда, тогда как другие силы (электрические, магнитные) в каждом месте то появляются, то исчезают, Эйнштейн поставил себе целью построить риманову Г. этого четырехмерного многообразия так, чтобы охватить одной общей схемой как пространственные, так и гравитационные соотношения, царящие в мироздании. Задача заключалась, следовательно, в таком выборе основной дифференциальной формы, при котором система правильно отображает эти соотношения в бесконечно-малом элементе мира и в порядке интегрирования дает возможность выразить процессы конечные во времени и пространстве. В работах Лоренца, в физических соображениях весьма общего характера, в геометрических идеях Минковского, в общей теории римановых пространств Эйнштейн нашел источники для составления дифференциальных уравнений, к-рым должны удовлетворять коэффициенты основной формы. Руководящее требование при этом заключается в том, чтобы выражаемые этой своеобразной Г. соотношения мира были инвариантны по отношению к преобразованию переменных, т. е. независимы от той системы референции, к к-рой они отнесены. Трудности, с которыми связано составление исходных дифференциальных уравнений, не говоря уже об их интегрировании, имеют следствием то, что схема Эйнштейна скорее намечена., чем действительно построена. Лишь в самых простейших предположениях относительно состояния среды удается придать основной форме такое выражение, чтобы ею можно было действительно воспользоваться для проверки всей теории. При всей заманчивости этой идеи и серьезности тех оснований, которые вселяют в нее веру в широком кругу выдающихся физиков, мы еще далеки от того, чтобы иметь возможность признать ее окончательное торжество.
Но принципиальная сторона этой постановки вопроса в истории геометрических идей имеет огромное значение. Роль Г. в естествознании достигла в этом замысле своего кульминационного пункта. Был поставлен вопрос о геометризации физики. Самая возможность такой постановки вопроса достаточно показательна. Более того, возможность и тех достижений, к-рые Эйнштейну удалось получить, основана, если можно так выразиться, на геометризации самой римановой Г.
Векторный и тензорный анализы. По Риману, геометрия многообразия развивается из основной дифференциальной формы аналитическими средствами. Вследствие этого на пути развития римановых идей стояли те препятствия, к-рые аналитический метод несет с собой: сложность аналитических переделок, отсутствие наглядных образов, расхождение между методом исследования и его объектом. Эти дефекты обнаружились и в области механики, в теоретической физике и в др. прикладных дисциплинах. Всюду анализ давал незаменимые средства получения результатов, когда задача уже выливалась в определенные дифференциальные уравнения; и всюду, в то же время, формальный характер анализа скрывал геометрическую сторону дела. Преодоление этих диалектических противоречийприводило к временному преобладанию то аналитических, то чисто геометрических методов. В связи с этим в конце 19 в. в прикладных дисциплинах получили чрезвычайно важное значение т. н. прямые исчисления, в к-рых математические операции производятся не над координатами, а непосредственно над теми объектами, к-рые изучаются.
В области Г. такого рода исчисления представляют собой векторное исчисление (см.), развитие и обобщение к-рого, ведущее свое начало от итальянок, геометров Риччи и Леви-Чивитта, составило современную новую и очень обширную дисциплину — тензорный анализ — творение 20 века. . Это — прямое исчисление, самое содержание к-рого сводится к установлению инвариантных операций и величин. В связи с развитием римановой Г. строился и тензорный анализ; его развитие привело к созданию своеобразного дифференциального и интегрального исчисления; объектами этого исчисления служат не функции, а геометрические величины, почему и результаты (производные и интегралы) носят инвариантный характер, не зависящий от системы координат — свойство, которым классический анализ не обладает.
Именно поэтому тензорный анализ в приложении к Г. Римана оказался необычайно плодотворным и как в теории, так и в приложениях вывел ее далеко за те пределы, в каких она была задумана Риманом. В последнее время чрезвычайно возросло число его приложений в различных областях физики, в гидродинамике, электродинамике, изучении магнитных и оптических свойств кристаллов, и т. д. В последней своей работе (1929) Эйнштейн сделал попытку охватить новой геометрической схемой риманова типа не только гравитационные, но и электромагнитные явления. Математическую разработку этих идей дал Леви-Чивитта. О результатах этой попытки сейчас еще судить преждевременно.
Г. претендует в качестве наиболее мощного орудия точного естествознания на овладение механикой и физикой, она стоит у вершины человеческого знания. — Удастся ли ей, действительно, выполнить этот замысел, сохранит ли она это доминирующее место или в порядке иного преодоления разрастающихся противоречий она должна будет его уступить, — это вопрос будущего, быть может, не столь далекого.
Лит.: Chas les М., Apercu historique sur 1’origine et le d6veloppement des methodes en g£om6trie, 2 6d., Paris, 1875; H e a t h T., A History of Greek Ma thematics, v. I. From Thales to Euclid, Oxford 1921, v. II. From Aristarchus to Diophantus, Oxford, 1921; Ващeнко-З ахарченко M. E., Краткий исторический очерк развития геометрии, «Киевские Университетские Известия», Киев, 1880—82; Cantor М., Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik, В-de I — IV, Leipzig, 1900—24; КаганВ. Ф., Ос нования геометрии, т. II. Исторический очерк развития учения об основаниях геометрии, Одесса, 1907; Klein F., Vergleichende Betrachtungen iiber neuere geometrische Forschungen, Erlangen, 1872 (имеется рус. перевод: Клейн Ф., Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований, Казань, 1896); его же, Vorlesungen iiber die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert, T. I, B., 1926; Wieleitner H., Geschichte der Mathematik, 2 Teil, 2 Halfte. Geometric und Trigonometric, B. — Lpz., 1921; Simon M., Ueber die Entwicklung der Elementar-Geometrie im 19 Jahrhundert, Lpz., 1906; Pascal Е.» Repertorium der hoheren Mathematik, В. II, Geometrie, Lpz., 1910; Weber H. und W e 1 1 s t e i n J., Encyklopadie der Elementar-
