ГИДРОМЕХАНИКАдавление всегда по нормали к стенке. Математическая сторона дела выяснена в ст. Векторное исчисление (Б. С. Э., т. IX, ст. 253). Отсюда, в частности, следует, что давление на дно сосуда зависит только от его площади и высоты сосуда, но не от формы сосуда. Т. о., давление на дно различных сосудов, изображенных на рис. 2, одно и то же, хотя вес жидкости в них различен. Это — т. н. г идростатический парадокс.
Менее просто распределение давлений в покоящемся газе, т. к. равенство р2 — Pi=egs можно применять лишь к очень тонким слоям, в которых плотность 9, вообще говоря, переменная и зависящая от давления р, может считаться постоянной.
Рис. 2.
Если для зависимости между р и q мы примем ту форму, какая справедлива для идеальных газов, то с помощью интегрального исчисления получим для давления на высоте Н над дном сосуда так наз. барометрическую формулу высот: 9
гг
р = Ре~ RT С1)’ где Р — давление на дне сосуда. В тех же обозначениях для жидкостей мы получили бы соотношение: р = р — едн.
Формула (1) выводится следующим образом. К очень тонкому слою с толщиной ds и разностью давлений dp может еще быть применено равенство p8 — Pi = =ogs, которое здесь принимает вид:-dp =egds, если s отсчитывается от дна сосуда вверх. Применяя уравнение состояния идеальных газов p=RTq, получаем
отсюда: - dp = ^=pds, а интегрирование этого уравR1 нения и дает нам формулу р = Се, причем С — есть произвольная постоянная. Определяя ее при помощи условия, что р=Р для 8 = 0, получаем формулу высот (1).
Рассмотрим тонкий слой жидкости, ограниченный двумя поверхностями постоянного давления. Давление направлено по нормали к этим поверхностям. Если слой достаточно тонок, то из этого следует, что и разность давлений с обеих сторон в каждой точке слоя направлена перпендикулярно к нему, но в таком случае то же должно иметь место и для объемной силы, действующей на жидкость, т. к. для того, чтобы жидкость оставалась в покое, эта объемная сила должна уравновешиваться разностью давлений. Т. о., поверхности постоянного давления повс юд у перпендикулярны к объемным силам. В частности, свободная (наружная) поверхность жидкости является, в силу постоянства давления примыкающего к ней воздуха, поверхностью постоянного давления и потому должна быть перпендикулярна к действующим объемным силам. Если мы имеем дело только с одной силой такого рода — с силой тяжести, — и рассматриваемый участок достаточно мал для того, чтобы можно было в его пределах считать силу тяжести повсюду параллельной одному и тому же направлению (вертикальному), то поверхность жидкости является плоскостью, перпендикулярной к этому на 728
правлению (горизонтальной). Напротив, если нужно учитывать, что сила тяжести направлена радиально к центру земли, то поверхность жидкости принимает вид сферической поверхности, к-рая повсюду перпендикулярна к радиусу. Сообразно этому, напр., поверхность моря, к-рую в небольших частях можно считать плоской, в целом является частью сферической поверхности.
Если вся масса жидкости вращается вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью, то к силам, действующим и в покоящейся системе, нужно прибавить еще «центробежную» силу. Она направлена перпендикулярно к оси вращения, действует по направлению от нее наружу и по величине равна произведению mrсо2, гдет — масса движущегося тела, г — ее расстояние от оси и со — угловая скорость вращения. Чтобы обосновать это введение центробежных сил строже, нужно указать, что вращающуюся массу жидкости можно рассматривать как неподвижную по отношению к системе, совершающей такое же вращательное движение. Согласно общим законам относительного движения в ньютоновской механике, движение относительно вращающейся системы можно рассматривать как движение относительно покоящейся (точнее говоря — инерционной) системы, если только к силам, действующим и в покоящейся системе, присоединить еще нек-рые «добавочные» силы. В нашем случае такой «добавочной» силой и является указанная центробежная сила. Когда, например, мы вращаем сосуд с водой вокруг вертикальной оси, то на жидкость действует не только сила тяжести, направленная вертикально вниз, но и горизонтально направленная центробежная сила. Поэтому результирующая объемная сила будет направлена уже не вертикально, а наклонно, а перпендикулярная к ней поверхность жидкости не остается плоской, а становится вогнутой, поднимаясь у стенок и принимая форму параболоида вращения (опыт Ньютона). В то время, когда земля еще была огненно жидкой, на отдельные ее части действовала не только сила тяжести, направленная к центру, но и центробежная сила, направленная от оси вращения наружу; результирующая этих объемных сил не является строго радиальной, и потому свободная наружная поверхность не могла иметь вида точной сферы. Именно благодаря этому вращению и произошло известное сжатие земли у полюсов (земля приняла форму — в первом приближении — эллипсоида вращения с меньшей полярной и большей экваториальной осью).
IV. Возможные виды движения жидкости (гидрокинематика). Движение жидкости мож но описать, задав положения, к-рые занимают последовательно во время движения все ее частицы. Кривые, соединяющие все эти положения, называют «траекториями» соответствующего движения жидкости. Вместо этого можно в каждой точке пространства задать по величине и направлению скорость той частички, к-рая находится в этот момент в данной точке. Кривые, определяемые тем, что их касательное в каждой точке совпадают с направлениями этих скоростей, называют «линиями тока». Вообще говоря, ка-
