угольные координаты точек. Действительно, рассматривая х19 у19 ^х, уп, zn как функции от qu q2, ..., qi и исключая величины qi9 мы получаем всегда г = . 3n — I ур-ий между координатами, т. е. системы с г ограничениями свободы движения. Величины q£ могут принимать произвольные значения; их называют обобщенными координатами системы с I степенями свободы, причем сюда включается случай свободных’точек i = 3n, когда введение величин q^ означает просто переход от системы прямоугольных декартовых координат к некоторой другой системе координат. Чтобы вывести законы движения для материальных точек, между которыми существуют условные ограничения, Ньютоновых ур-ий уже недостаточно, т. к. законы сил для этого случая ими не даются. Приходится вводить еще начало возможных перемещений и начало Д’Аламбера.
Начало возможных перемещений. Свободные материальные точки могут совершать произвольные перемещения во всевозможных направлениях. Если же существуют известные ограничения движения, то уже не все перемещения являются возможными; Те малые перемещения системы, к-рые совместимы с наложенными на нее условиями, называются «возможным и», или «виртуальными» перемещениями. Если например материальная точка вынуждена постоянно оставаться на поверхности сферы, то возможными являются только перемещения по этой поверхности, но не радиальные. Возможные перемещения мы представляем себе настолько малыми, что их можно рассматривать как прямолинейные. Тогда в нашем примере все возможные перемещения лежат в плоскости, касательной к сфере. Рассмотрим теперь работу, к-рую производят силы, действующие на точки системы при нек-ром их возможном перемещении. Оказывается, что движения таких материальных точек подчиняются следующему закону: могут иметь место только такие движения, при к-рых все действующие силы в совокупности производят положительную работу. Так как каждое движение должно начинаться с некоторого возможного перемещения, то в том положении, из к-рого возможны только церемещения, вдоль к-рых-силы должны совершать отрицательную или нулевую работу, система будет оставаться в покое илй, как говорят, «в равновесии». Если каждому возможному перемещению соответствует другое, также возможное, но противоположное первому, как это имело напр. место в случае точки, движущейся по сфере, то на одном из этих перемещений работа отрицательна, а на другом положительна. Поэтому такая система может находиться в равновесии только в положении, для к-рого работа действующих сил на всяком возможном перемещении равна нулю. Если напр. на оба плеча рычага длиной 1х и 12 действуют силы и f2, то очевидно при всяком повороте рычага на малый угол <р эти силы совершают работу (f 1l1 — f2l2) (р, т. к. концы рычага совершают перемещения lt(p и 12<р. Поэтому если рычаг находится в равновесии, то эта работа должна для всякого <р обращаться в нуль, ибо перемещения 1г<р и 12<р для всякого <р являются возможными. Из этого вытекает соотношение f = f2l2, т. е. известный закон равновесия сил, действующих на рычаг. В общей форме начало возможных перемещений можно формулировать так: если обозначить через dxi9 dyi9 компоненты _ перемещения г-й материальнойточки, то работа действующих сил для всей системы, согласно равенству (30), равна <5 Л = hx^Xi + fiy&yi + fi^i + ... + fnafan + “Ь tnytyn 4" fnz^^n* (36} Это выражение должно обращаться в нуль, если перемещения дх19..., дяп являются возможными, т. н. совместимыми со связями системы.
Если дА обращается в нуль для всех таких дх19... 9дяп, то система находится в равновесии в; том положении, для которого это имеет место.
Уравнения движения Ньютона не могут дать ответа на вопрос об условиях равновесия тела.
Это выполняет принцип возможных перемещений, являющийся т. о. новым принципом Д. наряду с законами движения Ньютона. Важно отметить, что принцип возможных перемещений подходит к формулировке условий равновесия тела, изучая особенности движения тела, происходящего в результатенарушения равновесия. Это есть одно из подтверждений высказанного в начале* статьи положения о том, что равновесие должно быть рассматриваемо как момент движения.
Движение и его законы есть следовательно первичное, из к-рого законы равновесия могут быть получены. Невозможно формулировать законы равновесия, не прибегая к понятию движения. Это видно на формулировке принципа возможных перемещений. Но даже и другая формулировка условия равновесия (или динамической устойчивости), формулировка Дирихле, связывающая понятие устойчивого равновесия с минимумом потенциальной энергии, только по внешней форме не прибегает к понятию движения.
На самом деле для определения экстремального (минимального) значения энергии требуется рассмотрение движения тела из одной смежной точки в другую. Диалектич. смысл принципа возможных перемещений, заключающийся в том, что равновесие можно познать только, изучая движения, возникающие в процессе его нарушения, вызывал в истории физики возражения против самого принципа как несостоятельного, как не дающего правильной формулировки условий равновесия самого по себе. Стевин напр. был решительным противником этого принципа по приведенным выше соображениям.
Принцип Д’Аламбера. Если силы, действующие на нек-рую систему, не уравновешиваются, то они создают ускорения, к-рые для свободных материальных точек определяются Ньютоновыми уравнениями (22). При наличии связей ускорения могут быть вычислены по Д’Аламберу с помощью следующих рассуждений. Закон инерции может быть формулирован так, что согласно ему каждому ускорению относительно системы неподвижных звезд противостоит некоторое сопротивление, к-рое преодолевается силой 7, входящей в Ньютоновы ур-ия. Произведение массы на вектор ускорения, взятое с обратным знаком, часто называют «силой инерции», так как именно сопротивление инерции противодействует ускорению и является тем бблыпим, чем больше масса.
Тогда можно Ньютоновы ур-ия высказать в такой форме: свободные материальные точки движутся так, что возникающие благодаря их движению силы инер'ции уравновешивают действующие силы, т. е. mw — ^ = 0, что тождественно с равенством (1). Принцип Д’Аламбера является обобщением этих представлений на
