ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ(линейно независимых, т. е. не удовлетворяющих ни при каких постоянных alf а2, ..., ап тождеству 4 — а2у2 + ... + апуп = 0); тогда общее решение будет дано формулой: У = &1У1 + ^г2/г + ... + Спуп, (4) где С19 ..., Сп — произвольные постоянные. Общее решение неоднородного ур-ия есть сумма одного частного решения Y этого Д. у. и общего решения соответствующего однородного Д. у. [т. е. Д. у., получаемого из (3), если положить V = 0]: У = Y 4 — Сгуг 4~ С2У2 + ... + Спуп, В случае, если в однородном линейном Д. у. коэффициенты ап, ах, ..., ап — постоянные, общее решение выражается через элементарные функции — показательные и тригонометрические.
Действительно, подставляя в Д. у. функцию у = екх, получаем ekx(aQkn 4+ ... + 4 — ап) = 0. Отсюда ясно, что если дать к значение kif являющееся корнем последнего уравнения, называемого характеристическим, то соответственная функция будет частным интегралом. Поэтому, если характеристическое ур-ие имеет п различных корней к19 к2,..., кп, то мы имеем п частных интегралов: уг = еМ, Уъ = в*2х, ...» Уп = И общий интеграл будет: у = 4 — С2е№ 4- ... 4(Ci, С2, ..., Сп — произвольные постоянные).
Случаи кратных корней требуют добавочного рассмотрения. Если некоторые корни алгебраического уравнения окажутся комплексными, то при действительных an, а19 ..., ап они войдут парами сопряженных комплексных чисел: кг — а 4~ Ръ, к2 — а — ^1, Соответствующие частные решения имеют вид: У! = х <= еах (cos рх 4 — г sin рх) -, у2 х == e°*(cos px-i sin рх).
Беря линейные комбинации — _ У1 + У2 ^1—2
„ 9
- 2=
2”»
получаем для каждой пары комплексных корней два частных решения, уже действительные: = е cos рх, z2 « е sin рх.
Пример: колебание точки в сопротивляющейся среде определяется Д. у.
4—2т ~ + 4 — п2и = 0. Характеристическое его ур-ие к2 44—2тк 4 — п2 = 0 имеет корни к = — т ± Ут2 — п2.
При т<п корни эти комплексные: к = — т± i i Уп2 — т2 = — т ± ip (обозначая р == Уп2 — т2).
Общее решение: и = e~nt (С1 cos pt 4 — С2 sin pt) или, вводя новые произвольные постоянные А и д при помощи соотношений Сг>= J. sin<3, С2 = -= A cos <5, имеем и = Ae~mt sin (pt 4- <5).
В случае, когда решение Д. у. не выражается в элементарных функциях, возникают две задачи: 1) приближенное вычисление значений решения уже упомянутым методом последовательных приближений или другими методами приближенного интегрирования дифференциального уравнения (см.), напр. нахождением решения в виде бесконечного ряда. 2) Качественное исследование решения Д. у., т. е. исследование общего течения интегральных кривых, характера решения при безграничном возрастании независимого переменного, нали 650
чие периодических решений (последний вопрос очень важен для задач небесной механики).
Второй метод исследований получил большое развитие в последней четверти 19 в. (Пуанкаре).
Системы обыкновенных Д. у.
В этом случае имеем несколько искомых ф-ий У19 У29 ... одной независимой переменной ж и систему из такого же числа Д. у. Всякую систему Д. у. (так же, как и одно Д. у.) можно привести к виду: = У1, Уг....... Уп), ................................
^ = fn<x, Уи У г, .... уп),
(5)
куда входят только первые производные искомых ф-ий. Например если дано Д. у. n-го порядка в виде (1а), то можно ввести новые ф-ии У19 У29 ...» Уп-i равенствами:
v '
dx dx ^2> *’*’ dx Уп — 1Г Тогда данное уравнение примет вид:
~^~№, У, У1.......... у^(?) Уравнения (6) и (7) вместе образуют систему вида (5). Обратно, из системы (5) дифференцированием и исключением можно получить одно дифференциальное уравнение n-го порядка.
Общее решение системы (5) зависит от п произвольных постоянных: У1~ (Р1(*^9 (-4, С2, ...» У2~ @19 ^2> •» ...» 2/п = ^(ж, Сь с2, ..., Сп).
(8) Для определения значений постоянных С19...» ..., СМ, соответствующих конкретным условиям той или иной задачи, должны быть заданы начальные условия: при х = х0 имеем: у = yQ, У1~ = ..,,?/n-i = 2/X-v Если уравнения (8) разрешены относительно <7Х, С2, ..., Сп, то имеем решение системы (5), (6) в виде системы т. н. первых интегралов: Vi(x, У, У1, •••> 2/«-1) — ci, 4>п(х, У, У1, .... Уп-i) “ СпЗдесь искомые функции и независимое переменное входят равноправно. Часто систему Д. у. (5) пишут в симметрическом виде относительно переменных х19 х2, ..., хп, не специализируя, какое из них независимое: dxi __ dxt _ _ dxn (10)
(Xi, Х2, ..., Хп — заданные функции от х19 х2, ..., хп), Д. у. в частных производных. Так называются Д. у., связывающие ф-ию z от нескольких независимых переменных х19 х2, хп с этими переменными и производными различных порядков от z по х19 х2, ..., хп. Такого рода Д. у. имеют особо широкие и важные приложения в геометрии, механике и теоретич. физике.
Наиболее простым классом Д. у. в частных производных являются линейные Д. у. Однородное линейное Д. у. первого порядка имеет вид: (11)
Его решение находится так: пишем систему обыкновенных Д. у.
dxi дх2 дхп Р17 Pz “ — - Рп*
Пусть система его первых интегралов есть ^1(^1,
...,
в ^1, У2(®1,
• • • 9 У^П-! (^1,
- ’ *’
...» ^и) = ^2, =
М-Г
•••>
