и определена, а’ иногда находит и новые обобщения данной 3. м., которые в отдельных случаях могут приводить к созданию новых теорем или даже целых ответвлений математики. Для решения 3. м. требуется не только знание теорем, но и находчивость и комбинаторские способности.
3. м., как это подтверждает история математики, отчасти непосредственно вытекают из потребностей практики (строительной, гончарной, торговой, военного дела, астрономии и т. п.), отчасти лишь косвенно связаны с практикой и вырастают из самой математической теории; иногда они сродственны математическим играм (см.). 3. м. ставились уже древними. Греки различали три рода 3. м.: 1) теоремы, требующие доказательства, 2) проблемы, требующие построения, 3) прризмы, требующие нахождения.
В геометрических задачах «строгим» считалось лишь решение посредством прямых и кругов (соединение двух точек прямой, пересечение двух прямых, описание кругов с данным радиусом из данного центра, пересечение прямой и круга или двух кругов).
Особенно известны возникшие в древн. Греции три 3. м., над к-рыми бились выдающиеся математики вплоть до 19 в., когда только была доказана их церазрешимость элементарными средствами, а именно: 1) квадратура круга (см.), 2) разделение произвольного угла на три равных части, трисекция угла (см.), 3) удвоение куба — т. н. Делийская задача (см.).
Греческие требования «строгости» вытекали из мистических идей пифагореизма (см.); применение конических сечений (см.) или специально изобретенных кривых (квадратриссы Дейвострата, конхоида Никомеда, кисоида Диокла) входило больше в практику, чем в научную теорию. Сюда же относятся т. н.«вмещения» отрезков, примером чего является архимедово решение трисекции угла (см. рис.).
Требуется разделить <£ АОВ на 3 равных части.
Для этого необходимо вместить отрезок CD, равный радиусу круга О А, так, чтобьт он, лежа на прямой, проходящей через В, концом С лежал на продолжении стороны О А, а концом D на окружности. Тогда < АОЕ, равный <OCD, будет равен одной трети < АОВ.
Вопрос о разрешимости 3. м. имеет большое принципиальное значение. Существует ряд 3. м., как напр. дать доказательство великой теореме Ферма (см.), установить — является ли иррациональной т. н. постоянная Эйлера и Маскерони и т. д., к-рые несмотря на применение всех средств соврем, математики пока не удается разрешить, откуда интуиционисты (см. интуиционизм) делают вывод, что не все ' 3. м. могут быть разрешены конечным числом логич • заключений, т. е. о а отказываются от дальнейшего прогресса науки. Этот пессимистический взгляд опровергается однако самым развитием математики. Так напр., если невозможно прямым путем подсчитать количество простых чисел, лежащих между миллионом и миллиардом, то анализ посредством функции интеграллогарифм дает это количество.
ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ, проблема небесной механики (см.), состоящая в следующем: для определенного момента времени даны положения трех тел, их массы и скорости (по 786 — величине и направлению), нужно найти положения и скорости для любого момента времени, если движение происходит под влиянием сил взаимного ньютоновского тяготения. Классический, пример 3. т. т. — система солнце-земля-луна, если пренебречь, очень малыми возмущениями других планет.
Знание движения луны имело большое* практическое значение для мореплавания; этим объясняется исключительный интересв 18 и 19 веках к этой задаче. Еще Лагранж (1772) показал, что интегрирование дифференциальных ур-ий движения в 3. т.; т.. можно довести до конца при условии, если взаимные расстояния трех тел одинаковые (тела находятся в вершинах равностороннего треугольника). Решение 3. т. т. в общем виде представляет почти непреодолимые* трудности; только в наши дни К. Зундману (Гельсингфорс) удалось их преодолеть; однако решение так сложно, что не может иметь, каких-либо практических применений.
Тем не менее в каждом отдельном случае* можно получить с желаемой точностью положения и скорости тел для какого-либо* момента времени следующим путем. Пусть напр. положения, и скорости известны для определенного момента времени; можно вычислять изменения положений какого-либо тела шаг за шагом, принимая, что для некоторого промежутка времени движение происходит под действием сил, определяемых для начала этого промежутка; продвинув тело к концу промежутка, вычисляют новые значения уже изменившихся сил и по ним двигают тело до конца второго промежутка и т. д. Этот метод квадратур или численного интегрирования при рациональном выборе величины промежутка даст требуемую точность, но не может быть применен для больших интервалов времени и не позволяет получить каких-либо обобщающих выводов.
Другой метод — последовательных приближений — применяется, когда влияние притяжения одного тела значительно преобладает над другим. Например в системе солнце-земля-луна можно в первом приближении пренебречь возмущающей силой солнца на движение луны (возмущающее ускорение солнца в 90 раз меньше земного ускорения).
Тогда положение луны, вычисленное из эллиптической приближенной орбиты относительно земли, может быть исправлено подсчетом возмущающег. о действия солнца, что и будет вторым приближением. Учет других возмущающих сил даст третье приближение.
Третий метод, предложенный Гиллом, состоит в том, что дахут общее выражение для приближенной орбиты с переменными параметрами вместо эллипса. Метод Гилла, был. разбит Анри Пуанкаре в его работах о периодических орбитах. Частный случай. 3. т. т. (ргоЫёте restreint), когда масса одного тела мала, й возмущающим действием ее на два других можно пренебречь, был полностью изучен путем численного интегрирования, в результате чего даны все возможные типы движения. Эта, задача дала возможность детального изучения движения астероидов (См. Солнце, Юпитер, Астероиды).
С* Орлов.
Лит.: Moulton F. R., Introduction to Celestial Mechanics, 2 edition, New York, 1914.
