ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕведение f(x, y) kxky (ж, у всякий раз лежат внутри прямоугольника As) приближенно выражает объем параллелепипеда, стоящего над прямоугольником As; объем V рассматривается как предел, к которому стремится двойная сумма £ £ f (ж, у) &хку при стремлении к нолю А® и А1/. Первое суммирование элементарных параллелепипедов можно производить вдоль прямых, параллельных Оу, а получившиеся слои суммировать, передвигаясь вдоль оси Ох.
Аналогично вводятся двойные интегралы с переменными пределами внутренней интеграции ^(ж) и <р2 (х): Ъ <Р2 (х) ъ ра (х) “| J J* f (X, y) dx dy = J* J f(x, y) dy dx, a<Pi(x) a _Ф1 (X)
распространенные на область С, лежащую между не пересекающими сами себя кривыми у = <р! (ж), 2/ = 9>2(ж) и ординатами точек с абсциссами а и Ъ. Точно так же вводятся тройные (а затем и n-кратные) интегралы ff/ f(x> У> 8) dxdydz, R
распространенные на объем R; каждая интеграция производится по одной из переменных, а пределы обусловливаются уравнением ограничивающих объем R поверхностей. Применение кратных интегралов весьма разнообразно.
Криволинейные интегралы. Выше было установлено понятие интеграла как предела суммы S t (Жг) (хг — хг — 1) ДЛЯ ФУНКЦИИ ОДНОГО Д6ЙСТВИтельного переменного. Это понятие можно обобщить на случай функции от двух и большего числа переменных. Такое обобщение привело к понятию криволинейного интеграла, к-рое имеет широкое приложение в механике и является мощным средством для изучения свойств функций комплексного переменного (см.).
Криволинейные интегралы могут быть как на плоскости, так и в пространстве. На плоскости: если дана дуга однозначной кривой ж = = <Pi(t), y — <p2(t), лежащая между точками А и В, и функция ^ = /(ж, 2/), то под криволинейным интегралом функции f (ж, у) вдоль дуги АВ понимают lim 2/(зд)(^-аи)« Xj — X/_i -> О
Этот интеграл обозначают так:
АВ
Вычисление его приводится, напр., путем замены х, у и dx через ж = 991 (t), У = <р2 (9, к вы" числению обыкновенного интеграла. Значение криволинейного интеграла, вообще говоря, зависит от направления, в к-ром описывается дуга АВ. Если эту же дугу АВ мы будем описывать в обратном направлении, то значение интеграла меняет свой знак. Простейшей механической интерпретацией криволинейных интегралов является работа R силы F, действующей_на тело, движущееся в плоскости по пути s: R = J*Fds = j\xdx + Ydy), где X, Y — проекции вектора-силы на оси, зависящие от ж, у (см. Векторное исчисление). В пространстве криволинейный интеграл имеет вид: I f(®, У, z) dx, где дуга АВ, вдоль которой АВ
берется интеграл, лежит в трехмерном пространстве и задана в параметрическом виде с помощью уравнений: ж = 9?!(0, У = (Рг(9, 8 = <pz (f). — Криволинейные интегралы зависят исключительно от самой кривой АВ и не зави 594
сят от способа ее изображения, т. е. от выбора, параметра t. Обыкновенные интегралы можно рассматривать как частный вид криволинейных, взятых вдоль отрезка на оси Ох. — О дальнейшем расширении понятия интеграла см..
Интеграл.
II. Исторический очерк.
Древне-греческий период. И. и. выросло из задач, определения площадей и объемов. Первые сведения об употреблении в этих целях понятий бесконечного относятся к середине 5 в. до хр. э. Инициатором был, как' свидетельствует ряд источников, знаменитый материалистический философ Демокрит из Абдеры. Будучи атомистом, он считал, что тела составлены из неизмеримомалых частиц. Конус с этой точки зрения оказывалсясовокупностью наслаивающихся друг на друга плоских, дисков неизмеримо-малой высоты. Демокриту удалосьсделать ряд ценных открытий, в частности, вывести, что конус равновелик трети цилиндра с теми же основаниями и высотой. Показав плодотворность использования бесконечного, Демокрит оказал науке величайшую услугу. Однако, статическая форма бесконечно-малого («неделимого»), в которой оно появилось в греческой науке, была чревата многими трудностями. В ходе полемики между школой элейцев и точно неизвестными их противниками была подвергнута острой и во многом справедливой критике мысль о составлении непрерывных величин из бесконечного множества бесконечно-малых элементов. Ярко выраженные в парадоксах Зенона доводы элейцев сильно стимулировали работу математиков над уточнением инфинитезимальных приемов. Результат ее позднее вылился да исчерпывания. — Существенное значение в истории* И. и. имела также знаменитая задача о квадратуре круга (см.). Попытки решить ее дали много ценного. Гиппократу из Хиоса (середина 5 в. до хр. э.) удалось найти первуюточную квадратуру нескольких криволинейных фигур (см. Гиппократовы луночки). Философ-софист Антифонт (конец 5 в. до хр. э.) предпринял попытку найти квадратуру круга, вписывая в круг правильные многоугольники со все увеличивающимся числом сторон. Другой философ, Бризон, дополнил это предложением употреблять также описанные многоугольники. Коковы бы ни были допущенные при этом ими обоими ошибочные заключения, сама процедура аппроксимирования криволинейной фигуры с помощью прямолинейных оказалась важнейшей. — Для строгого обоснования результатов, полученных ранее с помощью вызывавших возражения неделимых, математика нуждалась в приеме, к-рый не применял бы понятий актуальных бесконечно-большого и малого. При этом математика античного мира не могла пойти по пути, на к-рый вступила она в новое время, когда параллельно с успехами динамики выросло понятие переменной величины. Математика античности была наукой о постоянных величинах; механика в то время также сводилась лишь к статике. В круге подобных идей был разработан Эвдоксом Книдским (410—356 до хр. э.) т. н. метод исчерпывания (см. Исчерпывания метод). Пользуясь этим методом, Эвдокс доказал теоремы об объемах конуса и пирамиды и вывел, что* площади кругов относятся как квадраты диаметров, а объемы шаров — как кубы последних. В 3 в. до хр. э. развивающиеся статика и гидростатика потребовали вычисления ряда объемов, площадей и центров тяжести.
Лучшие достижения древности в этой области были получены Архимедом (см.). Целый ряд открытий он получил, сочетая теорию рычага с методом неделимых. Изящным; образцом может служить впервые им найденная квадратура параболы. В сегмент параболы S вписан равнобедренный треугольник АВС (рис. 4), ось DC продолжена до пересечения с касательной BE, к АВ проведен перпендикуляр AF до пересечения с касательной BF, и BG продолжена на GH = GB. Наконец, проведена произвольная прямая MI, пересекающая параболу в К, а ВИ Т .
MI GH о в L. Архимед легко получает сперва, что — 777e • ЗаК. 1 GLi тем он представляет себе, что отрезок KI перенесен и закреплен в своей середине в точке И. Если рассматривать HL как рычаг с точкой опоры G, то линии К'Г и MI — грузы на его концах — будут в равновесии. Это справедливо для всякой линии, параллельной MI в треугольнике ABF. Так как треугольник ABF составлен из прямых, проведенных в нем, а сегмент параболы S составлен из прямых, взятых в нем аналогично прямой KI, то треугольник ABF, оставшийся на месте, будет в равновесии относительно точки G с сегментом параболы, подвешенным в Н. Центр тяжести треугольника ABF отсекает на медиане GB в точке N отрезок GN =-| GB = ±GH'r о
