ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ — ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОТОМЕТРЫлибо уравнение (3) имеет единственное решение, а соответствующее ему однородное уравнение Ъ
<р (ос) — Я (х, <р (5) de = 0 а
не имеет других решений, кроме у (х) = 0, либо уравнение (3), вообще, не имеет ни одного решения [если только /(х) не удовлетворяет специальным условиям], а однородное уравнение имеет бесчисленное множество решений, выражающихся линейно через конечное число независимых решений. Последнее обстоятельство имеет место для тех значений я, при к-рых степенной ряд, стоящий в знаменателе формулы Фредгольма, обращается в ноль (алгебраическая аналогия: определитель системы равен нолю). Такие значения Я называются фундаментальными, или собственными, значениями ядра К (х, £), а соответствующие им решения однородного уравнения — фундаментальными, или собственными, функциями. Особенно часто встречаются в приложениях интегральные уравнения с симметрическим ядром, т. е. таким, что К (х, ё) = = К (£, х). Теорию таких уравнений развили Д. Гильберт и Е. Шмидт. Для всякого действительного симметрического ядра существует по крайней мере одно фундаментальное число, а вообще говоря, — бесчисленное множество фундаментальных чисел и, следовательно, фундаментальных функций: (х), <Р2 (х), ..., д* (х),...
Последние всегда можно предполагать ортогональными и нормированными, т. е. такими, что Ь а Основным результатом теории является тот факт, что решение интегральных уравнений (4) в случае симметрического ядра может быть представлено в виде абсолютно и равномерно сходящегося ряда по фундаментальным функциям.
Часто задачи, приводящие к И. у., могут быть сведены к дифференциальным уравнениям и обратно; т. н. краевые (граничные) задачи теории дифференциальных уравнений сводятся к И. у. По многим причинам И. у. предпочтительнее. Так, напр., задачи о колебаниях струны, стержня, мембраны и пластинки приводят к дифференциальным уравнениям, соответственно обыкновенным второго и четвертого порядков и с частными производными второго и четвертого порядков; интегральные же уравнения во всех этих случаях получаются второго рода Фредгольма (с однократным или двукратным интегралом). Таким образом, решение различных, с точки зрения теории дифференциальных уравнений, задач проводится при помощи И. у. до конца и совершенно единообразно.
Уравнения Фредгольма являются линейными, т. е. если ^(х) есть решение уравнений (3) или (4) с правой частью h (ж) и <р2 (х) — решение того же уравнения с правой частью f2(x), то (х) 4 — С2<р2 (ж) есть решение уравнения с правой частью (ж) + C2f2 (х). В последнее время стала актуальной проблема решения нелинейных И. у., к-рые встречаются в разных задачах современной науки (механики, физики).
Их теория еще мало разработана.
В тесной связи с И. у. стоят интегро-дифференциальные уравнения, т. е. такие, где неизвестная функция входит как под знаком интеграла, так и под знаком производной.
В виде примера укажем уравнение, полученное Вольтерра в задаче о крутильных колебаниях:
+ /к(х, о
Иногда интегро-дифференциальные уравнения можно свести к интегральным или дифферен 604
циальным уравнениям. Решение можно искать также непосредственно по методу последовательных приближений.
Лит.: Курант Р. и Гильберт Д., Методы математической физики, M. — Л., [1934]; Привалов И. И., Интегральные уравнения, М. — Л., 1935; Мюнтц Г. М., Интегральные уравнения, ч. 1, Л. — М., 1934; Гу рсаЭ., Курс математического анализа, т. III, ч. 2, М. — Л., 1934; ЛовиттВ. В., Линейные интегральные уравнения, М. — Л., 1933; ВиардаГ., Интегральные уравнения, М. — Л., 1933; Смирнов Н. С., Введение в теорию нелинейных интегральных уравнений, Л. — М., 1936; Hilbert D., Grundziige einer allgemeinen Theorie der Linearen Integralgleichungen, 2 Aufl., Lpz. — B., 1924; Volterra V., Lemons sur les Equations intCgrales et les equations int6gro-diff6rentielles, P., 1913; HellingerE. und TeeplitzO., Integralgleichungen und G-leichungen mit unendlich vielen Unbekannten, «Enzyklopadie der mathematischen Wissenschaften», Bdll, Lpz. — в.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОТОМЕТРЫ, приборы для измерения светового потока источников света.
Наибольшим распространением пользуется интегральный шар Ульбрихта. Это полый шар, внутренняя поверхность к-рого покрашена белой краской, диффузно рассеивающей свет, с небольшим (относительно поверхности шара) отверстием.
В идеальномслучае место исследуемого источника внутри шара безразлично. Любая элементарная площадка на внутренней поверхности шара освещается, во-первых, непосредственно источником и, вовторых, светом, рассеянным всей остальной поверхностью шара. Принимая во внимание многократное отражение от поверхности шара, мы получим для полной освещенности Е любой площадки такое выражение: B=±cosa+ri-^_, где R — радиус шара, г — расстояние от источника до рассматриваемой площадки, q — коэффициент отражения, а — угол падения прямых лучей, I — сила света источника в данном направлении и F — интегральный световой поток источника. Устранив при помощи экрана прямую освещенность отверстия шара от источника, можно по величине оставшейся освещенности найти световой поток F. Так как освещенность пропорциональна, то, при высоких коэффицентах отражения краски, остаточная освещенность может быть очень высокой даже при большом R. Так как теория точна только при очень малых размерах источника по сравнению с диаметром шара, то для источников с большой светящейся поверхностью приходится прибегать к применению шаров очень большого размера. Для ламп накаливания изготовляются шары диаметром 50—80 см, для светильников (лампы с арматурой) приходится увеличивать диаметр шаров до 1, 5—2 — 3 и даже 4 м. Для исследования прожекторных пучков применяются полушары, теория к-рых сходна с теорией шара.
Шаровые фотометры нашли применение для ряда измерений, напр., для измерения коэффициента диффузного отражения (шар Тальбота) и коэффициента диффузного пропускания (тот же шар или система двух шаров), для измерения освещенности (взамен пробной пластинки люксметра) и т. п. Кроме шара Ульбрихта интегральные фотометры строятся и на принципе
