чении данного процесса. — К. может быть также определена параметрическими уравнениями, когда координаты ее точек представлены как функции некоторого параметра (см.) t.
Для плоской К. имеем два параметрических уравнения хКаждому значению параметра t соответствует точка К. Если давать параметру t в некоторых пределах (£0Л) ряд последовательных значений черей равные промежутки, строить соответствующие точки К. и близ каждой точки ставить соответствующее ей значение параметра t, то получим проградуированную дугу К., носящую название криволинейной шкалы. Такие шкалы имеют широкое применение в номографии (см.).
Плоские К. классифицируются по их уравнениям в декартовой системе координат. Кривая, могущая быть представленной уравнением F(x, y)=0, где F(x, y) — многочлен n-ой степени относительно координат х и у, называется алгебраической К. n-го порядка. Геометрически порядок алгебраической К. есть число точек пересечения этой К. с произвольной прямой (точки пересечения могут быть мнимыми и сливаться между собой). Число касательных, к-рые можно провести к данной К. из произвольной точки плоскости, наз. классом алгебраической К. К., не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными; для них функция F(x, y) неизбежно трансцендентна.
Касательная к кривой в каждой ее точке (ж, у) определяется при помощи ее углового коэффициента к (т. е. тангенса угла ее наклона к оси Ох в прямоугольной декартовой системе координат), причем к = ох оу . Если хотя бы
одна из частных производных dF или 9F отлична от ноля, то касательная к кривой вполне определенна. В этом случае точка касания называется обыкновенной точкой К. Если в данной точке К. |-=0 и ~ = 0, то касательная к кривой может быть неопределенной. В этом случае точка касания называется «особой точкой» К.
В частности, если хоть одна из производных о 02F 02F 9*F 2 — го порядка отлична от ноля, точка будет «двойной». Существуют три рода двойных точек: узловая точка (фиг. 1), точка возврата (фиг. 2) и изолированная точка (фиг. 3). Характер двойной точки определяется « 9*F 9*F (9*F \2 знаком дискриминанта <5= .
Если д > 0, то особая точка — изолированная, если 5 = 0, то особая точка является точкой возврата, если же 5 < 0, то особая точка является узловой.
Для алгебраической К. число ее двойных точек связано с порядком и классом К. следующими равенствами, носящими название формул Плюнера: п' = п (n — l) — 2d — 3v v' = зп (n — 2) — 6d — 8v n= n' (n' — 1) — 2d' — 3i/ v = 3n' (n'~2) — 6d' — 8г/, где n — порядок К., n' — ее класс, d — число двойных точек К., d' — число ее двойных касательных (двойная качательная — прямая, касающаяся данной К. одновременно в двух различных ее точках; фиг. 4), v — число точек возврата К., v' — число ее точек перегиба (т. е. тех точек, в к-рых К. переходит с одной стороны касательной на другую; они также причисляются к числу двойных точек; см. фиг. 5). Из этих 4 формул Плюкера независимы лишь 3, а четвертая есть следствие трех других.
Формулы Плюкера справедливы в объясненном выше элементарном смысле, если кривая не имеет точек и касательных более высокой кратности. Однако алгебраические К. могут иметь точки и более высокой кратности.
В этом случае в формулах Плюкера каждая точка высшей кратности должна засчитываться за несколько двой 74
ных точек. К. могут иметь и более сложные типы особых точек. Так, К. а*хъ = (х*+у2) у* (кривая Каппа) имеет в начале координат «точку самоприкосновения» (фиг. 6).
Трансцендентные К. допускают еще более сложные типы 1 особых точек. Так, К. у = е имеет в начале координат «точку перерыва» (фиг. 7); К. у = х (1 + е) ® имеет вначале «точку перелома» или «угловую точку» (фиг. 8). Из формул Плюкера следует, что число двойных точек алгебраической К. ограничено. Наибольшее число двойных точек, допускаемое алгебраической К. n-го порядка, равно (п — 1)(п — 2) „
К., имеющая это число двойных точек, называется унйкурсальной (см. Уникурсальные кривые). — К. 3 — го порядка не могут иметь более одной двойной точки.
Двойные точки алгебраической К. могут быть и мнимыми.
Каждая алгебраическая К. n-го порядка определяется п (п+3) — своими точками.
Из К. 3 — го порядка наиболее известны: строфоида, уравнение к-рой (ж24—2/2) (х — 2а) 4+ а2ж = 0 (фиг. 9); циссоида Диоклеса х (ж2 44—2/2) 2г2/2 (фиг. 10); трисектриса Маклорена ж (ж2 4—1/2) = а (у2 — Зж2) (фиг. 11). Все эти К. проходят через мнимые круговые точки плоскости и потому называются «циркулярными К.». Одной из наиболее важных не циркулярных К. 3 — го порядка является декартов лист ж3 4—2/3 = Заху (фиг. 12). — Наиболее важными К. 4 — го порядка являются конхоида Никомеда (ж — а) 2 (ж2 4 — У2) — I2#2 = 0 (фиг. 13 а, Ь, с); овал Декарта [ж24 — з/2 — (fiy+ya+aft)]2 4—4а/? у[2ж — (а44—0 4 — у)]=0; овалы Кассини (ж2 4 — у2) 2—2а2(ж2 — — 2/2) 4 — а4 — с4 = О (фиг. 14 a, b, с, d). — Если К. имеет ветвь, удаляющуюся в бесконечность, и касательная к кривой при удалении точки касания в бесконечность стремится к нек-рому предельному положению, то это предельное положение касательной носит название асимптоты К. Асимптота К. обладает тем свойством, что расстояние точки К. от асимптоты по мере удаления этой точки в бесконечность беспредельно убывает.
Рассмотрим общий вид параметрического представления плоской кривой x = A(t), V==/2(t), (1) [Мы ограничиваемся здесь случаем плоской кривой лишь для сокращения письма: все рассуждения без изменений справедливы для кривой трехмерного и вообще п-мерного пространства, только вместо двух ур-ий (1) надо будет рассматривать п ур-ий х1=/1 (I), ...» xn=/n(t), где п — число измерений пространства].
Если потребовать, чтобы функции /1.(0 и /2(0 были дифференцируемы для каждого значения параметра t, а dfi и df2 не обращались одновременно в ноль, то получим кривую в обычном смысле элементарной дифференциальной геометрии, имеющую в каждой точке вполне определенную касательную. Если же требовать от функций (1) только непрерывности, то получим наиболее общие непрерывные кривые. Понятие общей непрерывной кривой очень широко и охватывает геометрические образы, значительно отличающиеся от элементарных кривых, изучаемых в аналитической и дифференциальной геометрии.
Самое выражение «непрерывная кривая, определяемая уравнениями (1)», может быть понимаемо в двух существенно различных смыслах. Во-первых, можно понимать под кривой множество («геометрическое место») точек плоскости, координаты к-рых удовлетворяют условию (1).
Так понимаются кривые в аналитической геометрии. Вовторых, можно понимать под кривой самую систему уравнений (1), т. е. выражаемый этой системой закон отображения отрезка о < t < 1 на некоторое плоское множество. При этом делается следующее существенное дополнительное условие: две системы уравнений — система (1) и система х=01(т), у=д2(т), 0 < т < 1 (2) считаются эквивалентными, т. е. определяющими одну и ту же кривую, если существует монотонная непрерывная функция т=ф(1), 0 < t 1, <р (0) = 0, ф(1) = 1, такая, что для всех значений
t,
(0, 02[<р(О] = /2(0.
