Страница:БСЭ-1 Том 37. Лилль - Маммалогия (1938).pdf/157

$N=a^{\log _{a}N}$ получим, $\log _{b}N=\log _{a}N\cdot \log _{b}a$ и значит $\log _{a}N={\frac {1}{\log _{b}a}}\log _{b}N$. Таким образом, Л. любого числа при основании $a$ равен Л. того же числа при основании $b$, умноженному на множитель $M={\frac {1}{\log _{b}a}}$, одинаковый для всех чисел и называемый модулем перехода от основания $b$ к основанию $a$.Рис. 3. Например $\ln N=M\log N$, где модуль $M={\frac {1}{\log a}}=2,3025850929...$, обратно $\log N={\frac {1}{M}}\ln N$, где ${\frac {1}{M}}=0,4342944819...$

‎Первые таблицы были вычислены весьма громоздкими методами, опирающимися на определение членов геометрических прогрессий. Имеются прямые вычисления с помощью непрерывных дробей и другие. Но всегда выгоднее употребление бесконечных рядов. В основе различных логарифмич. рядов лежит ряд

$\ln ~(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+...$

(1)

‎Однако для выкладок он фактически не пригоден, т. к. члены его убывают очень медленно; кроме того, он сходится лишь при $-1<x\leqslant 1$. Из ряда (1) выводится ряд

$\ln {\frac {1+x}{1-x}}=2\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+...\right),$

(2)

где $|x|<1$. Если положить здесь $x={\frac {M-N}{M+N}}$ $(M$ и $N$ — любые числа $>0$), то ${\frac {1+x}{1-x}}={\frac {M}{N}}$, и получается ряд

$\ln {\frac {M}{N}}=2\left\{{\frac {M-N}{M+N}}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {M-N}{M+N}}\right)^{3}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {M-N}{M+N}}\right)^{5}+...\right\}.$

(3)

‎Этот ряд очень быстро сходится, если $M=N+1$ и $N$ достаточно велико. Впрочем, уже при $M=2$, $N=1$ он пригоден для вычислений: $\ln 2=2\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{3}}}+{\frac {1}{7\cdot 3^{7}}}+...\right)=0,693147...$

Л. как функция действительного переменного. Если вместо числа, стоящего под знаком Л., мы будем рассматривать переменную величину $x,$ то $\log _{a}x$ определяет логарифмическую функцию $y=\log _{a}x$. Функция эта определяется (если ограничиваются действительными функциями действительного переменного) лишь для действительныхРис. 4. $x$ (о функции $\log _{a}x$ в комплексной области см. ниже). Так как, по определению Л., $x=a^{y}$, т. е. $x$ есть показательная функция от $y$, то логарифмическая функция является обратной к показательной. Логарифмическая функция может быть наглядно представлена ее графиком, обычно называемым логарифмической кривой. Поскольку, как указывалось выше, основание логарифмов $a$ выбирается положительным, а логарифмич. функция определена лишь для положительных значений $x$, постольку логарифмич. кривая расположена целиком в правой полуплоскости (рис. 4). Если $a>1$, логарифмич. функция возрастает при возрастании $x$; для $x<1$ ее значения отрицательны, для $x>1$ — положительны; при стремлении $x$ к бесконечности $\log _{a}x$ также стремится к бесконечности, т. е. $\lim _{x\to +\infty }\log _{a}x=+\infty$. Если основание Л. $a<1$, то логарифмич. функция убывает при возрастании $x$; для $x<1$ ее значения положительны, для $x>1$ — отрицательны. В обоих случаях $\log _{a}x=0$, при $x=1$ и $\log _{a}x=1$ при $x=a$. При $x=0$ функция не определена, но $\lim _{x\to 0}\log _{a}x=\pm \infty$ (знак плюс в случае $a<1$, минус — в случае $a>1$). Смысл этого равенства заключается в том, что при приближении $x$ от $1$ к $0$ функция принимает все большие и большие значения (положительные или отрицательные). Если в выражении $\log _{a}x$ давать величине $a$ различные значения, то получаем семейство всевозможных логарифмич. кривых, пересекающихся в одной точке $x=1$. Логарифмическая функция выражается в виде неопределенного интеграла $\log _{a}x=\log _{a}e\int \limits _{1}^{x}{\frac {dx}{x}},$ что можно принять за другое ее определение. Обратное этому выражение для производной от логарифмич. функции будет ${\frac {d}{dx}}\log _{a}x={\frac {1}{x}}\log _{a}e$. В теории функций, в дифференциальном и интегральном исчислениях особенно существенную роль играют натуральные Л.: все формулы значительно упрощаются, если за основу Л. берется число $e$. Соответствующие формулы для интеграла и производной очень просты:

$\ln x=\int \limits _{1}^{x}{\frac {dx}{x}}$ и ${\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.$

Л. как функция комплексного переменного. В теории функций комплексного переменного понятие Л. обнимает все действительные и комплексные числа, кроме ноля. Натуральным Л. любого числа $z=x+yi$ называется показатель степени $u+vi,$ в к-рую нужно возвести число $e$, чтобы получить $z$. Представим число $x+yi,$ в тригонометрич. форме $r(\cos \,\varphi +i\sin \,\varphi )$ где $r=+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}},~\cos \,\varphi ={\frac {x}{r}},~\sin \,\varphi ={\frac {y}{r}}.$ Тогда по определению $e^{u+vi}=r(\cos \,\varphi +i\sin \,\varphi ).$ С другой стороны, по формуле Эйлера, $e^{u+vi}=e^{u}(\cos \,v+i\sin \,v)$ и, следовательно, $e^{u}=r$ и $u=\ln r,$ a $v=\varphi +2k\pi$ ($\ln r$ обозначает здесь обыкновенный натуральный Л. положительного числа $r$, $k$ — пробегает все целые числа). Таким образом, обобщенный Л. числа $z$ дается формулой $\mathrm {Ln} ~z=\ln r+i(\varphi 2k\pi )$ и имеет бесчисленное множество значений, составляющих арифметич. прогрессию с разностью $2\pi i$, расходящуюся в обе стороны от числа $\ln r+i\varphi$. Для положительных чисел $N,~\varphi =0,~\mathrm {Ln} ~N=\ln N+r2k\pi$ и среди значений $\mathrm {Ln} ~N$ имеется одно действительное $\mathrm {Ln} ~\mathrm {N} .$ Л. отрицательных и комплексных чисел действительных значений не имеют. Например, $1=\cos \,2k\pi +i\sin \,2k\pi$ и $\mathrm {Ln} ~1=2k\pi$ (при $k=0$ получится $\mathrm {Ln} ~1=0$; $\mathrm {Ln} ~(-1)=(2k+1)\pi i.$ В комплексной области сохраняет смысл формула

$\mathrm {Ln} ~z=\int \limits _{1}^{z}{\frac {dz}{z}}$

Так как подинтегральная функция ${\frac {1}{z}}$ имеет точку $z=0$ особой точкой, значение интеграла зависит от пути интегрирования, а именно от того, сколько раз путь интегрирования обегает точку $0$.

История Л. Изобретение Л. было определено быстрым ростом в 16 в. мореплавания. Нужды навигации потребовали резкого уточнения астрономических наблюдений, в свою очередь приведшего к чрезвычайному усложнению астрономических выкладок. Для облегчения громоздких действий над большими числами был изобретен целый ряд приемов, сводивших, напр., умножение к сложению, и составлено множество таблиц. Однако все эти приемы были мало удовлетворительны; окончательный переворот в вычислительном деле произвели лишь Л. Творцы первых таблиц Л. исходили из зависимости между свойствами геометрич. прогрессии и арифметич. прогрессии, составленной из показателей степени членов первой. Сопоставление прогрессий

${\begin{matrix}...&a^{-2}&a^{-1}&1=a^{0}&a^{1}&a^{2}&a^{3}&...\\...&-2&-1&0&1&2&3&...\end{matrix}}$