от точки М к оси вращения перпендикулярно к оси.
Указанные формулы с соответствующими изменениями •обобщаются на случай плоского движения тела и общий случай пространственного его движения. При плоском движении тела (все точки перемещаются параллельно нек-рой неподвижной плоскости) достаточно рассматривать движение плоской фигуры, жестко связанной с телом, в своей плоскости. Выбрав на этой фигуре нек-рую точку О' за полюс и обозначив радиус-вектор полюса через т0, скорость — через го, ускорение — через а>о, будем иметь (г' — радиус-вектор произвольной точки фигуры в системе координат, связанной с фигурой): r=ro + r', V — г? о+ Г°>, r']f м = »о + [е, г'] + + [со [со, г']], (3) т. е. скорость и ускорение v и™ точек плоской фигуры складываются соответственно из скорости и ускорения полюса и скорости и ускорения во вращательном движении вокруг полюса. Аналогично решается вопрос и в общем случае произвольного движения твердого тела: скорость и ускорение точек его складываются соответственно из скорости или ускорения полюса и скорости или ускорения во вращательном движении вокруг полюса.
Все эти результаты являются следствием общего положения о возможности разложения любого движения тела па поступательное вместе с полюсом и вращательное вокруг полюса.
Как упоминалось уже в историч. очерке, Эйлер, Моцпи, а затем Шаль и Пуансо разработали геометрич. учение о движении тела, показав эквивалентность сложных движений нек-рым более простым, а именно — катанию без скольжения цилиндрич. или конич. поверхностей (аксоидов), связанных жестко с телом по соответствующим поверхностям в неподвижном пространстве.
Если по отношению к нек-рой основной системе отсчета, принимаемой условно за неподвижную, «абсолютную», движется другая система отсчета — подвижная, «относительная», то кинематические элементы движения нек-рой точки по отношению к этим двум системам соответственно называются «абсолютными» и «относительными» <см. Относительное движение). Наряду с абсолютным движением точки, т. е. движением ее по отношению к абсолютной системе отсчета, рассматривают относительное ее движение. Абсолютное движение того пункта относительной системы, через который в данный момент времени проходит движущаяся точка, называют переносным движением. Обозначая, как принято, абсолютные элементы индексом а (например, va, «относительные» элементы — индексом г (relatif — относительный) и переносные — индексом е (entrainement — перенос), будем иметь: 1) для скоростей Va=vr+Ve, т. е. абсолютная скорость равна геометрической (векторной) сумме относительной и переносной скоростей (правило параллелограма скоростей); 2) для ускорений wa — wr + we + wCt т. е. (правило параллелепипеда ускорений) абсолютное ускорение равно геометрич. сумме относительного, переносного и еще дополнительного (поворотного, или кориолисового) ускорения, равного с^=2 [со, vr], где со — вектор угловой скорости вращения «относительной» системы по отношению к «абсолютной». Абсолютные и относительные элементы определяются по обычным формулам кинематики точки в своих системах координат (отсчета), переносные элементы определяются по формулам кинематики твердого тела (3), кориолисово ускорение — по только что приведенной формуле. Очевидно, что в случае поступательного движения относительной системы отсчета (со= 0) кориолисово ускорение обращается в ноль, и правило параллелепипеда ускорений заменяется правилом параллелограма ускорений. Это же имеет место и в том частном случае, когда относительное движение происходит в направлении, параллельном оси вращения относительной системы. Наличие поворотного (кориолисова) ускорения может служить для установления существования вращательного движения системы отсчета, с которой связан наблюдатель (например, известные опыты с маятником Фуко, закон Бэра и другие доказательства вращения земли). — При рассмотрении вопросов о скоростях и ускорениях точек систем тел аналитич. методы становятся мало пригодными в виду крайней их сложности. В этих случаях пользуются графич. методами. Идея этих методов заключается в геометрич. построении формул (3). В очень сложных случаях приходится дополнительно прибегать к применению метода разложения данного движения на относительное и переносное. Для плоских движений (механизмов) графич. методы хорошо разработаны.
Динамика. Связь между движением материальной точки массы т и равнодействующей приложенных к ней сил F определяется уравнением mw — F или в проекциях на оси прямоугольных Декартовых координат: тх = Fx, my = Fy, mz = F3.
(4) В динамике решаются две основные задачи: 1) по заданному [уравнениями движения (2)] движению точки найти силы F; эта задача решается простым дифференцированием уравнений (2) и подстановкой в (4); 2) по задан 256
ному закону сил, т. е. зависимости Fx, Fy, Fz от элементов движения t, х, V» Л я, у, г, определить движение точки; эта задача решается интегрированием системы дифференциальных уравнений (4), причем входящие в ответ произвольные постоянные интегрирования (в общем случае их шесть) определяются из начальных условий движения: при t — to, Х = Хо, Уе=У0} 7 = 7о, X = Хо, У~Уо.
7 = 70 — С математич. стороны мы здесь имеем известную задачу Коши. Таким путем был решен ряд простейших задач динамики точки (движение под действием силы, зависящей лишь от времени; прямолинейные колебания точки как свободные, так и вынужденные при наличии различных законов сопротивления; прямолинейное движение при притяжении и отталкивании силой — функцией положения точки и др.). Более сложные задачи движения точки в плоскости и пространстве решаются тем же уравнением Ньютона, но составленным в криволинейной системе координат. Если qi, 32, Q3 — какие-нибудь три криволинейные координаты точки, то дифференциальные уравнения движения удобнее всего составлять в форме уравнений Лагранжа: d / дТ \ дТ
m mv2 где Т == — ------ кинетич.
энергия точки, выраженная в
(«обобщенных») координатах дг — и производных от них по времени (т. н. обобщенных скоростях), a Qi — «обобщенная» сила, равная коэффициенту при <5qz — в выражении через обобщенные координаты и скорости элементарной работы 3W равнодействующей силы на произвольном перемещении точки. Этим путем был решен ряд задач (центральные орбиты — в полярных координатах; задача о притяжении к двум центрам — в эллиптических координатах; математич. маятник и др.). — Если силы, действующие на точку, таковы, что элементарная работа их dW может быть представлена как полный дифференциал нек-рой функции V (силовой функции) или противоположной по знаку функции П (потенциал), т. е., иными словами, если элементарная работа <5W = — dll, совершенная силой, равна изменению некоторой величины, характерной для положения точки (потенциал, потенциальная энергия) и определяющей полный запас энергии или возможности совершения работы, то обобщенные силы будут равны:
dqi — dqi> и уравнения Лагранжа смогут быть переписаны в форме: (г = 1, 2, 3), dt д(Ц dqi где L=T-II носит название Лагранжевой функции или кинетич. потенциала. Вводя вместо обобщенных координат д/ и обобщенных скоростей сц новые (канонические) переменные <ц и рг- (импульсы), равные dL Рг = d(li’ можно выразить полную энергию точки, равную сумме кинетической и потенциальной ее энергий, через канонич. переменные 07 и рг — в виде: H=T+7T=H(Qi, qz, Q3; Р1, Рз, Рз).
Тогда канонич. уравнения движения точки (Гамильтон) будут: ({=123).
(6) dt dpi dt д<ц v система трех уравнений второго порядка (5) свелась к шести уравнениям первого порядка.
Якоби показал, что если V (qi, q?., q& ai, a2, a3) — есть полный интеграл уравнения в частных производных (уравнение Якоби): . dV ' 0 — dV, g — dV\)=a.=Const, g~,
то решения (вторые интегралы) канонич. уравнений (6) имеют вид: 8V /J-Я 9V R 9V Я 11' =(+ 0^=Д2’ d^ = Ps’ (7) где ai, 0, 2, аз И Р1, 02, 0з — шесть произвольных ПОСТОЯННЫХ задачи, определяемых из начальных условий. Последние два уравнения сразу дают уравнение траектории движения точки. Уравнерия dV w= W (i=l, 2, 3)
представляют промежуточные интегралы, применяемые вместе с (7) для определения постоянных интегрирования. — Случай свободной системы точек описывается теми же уравнениями, но составленными для всех точек системы; таким путем могут быть решены лишь самые простые задачи (напр., движение системы двух материальных точек, притягивающихся силой, обратно-пропорци©-
