МЕХАНИЧЕСКИЕ КВАДРАТУРЫМЕХАНИЧЕСКИЕ КВАДРАТУРЫ, собирательное название для различных методов приближенного вычисления определенных интегралов.
Так как интеграл I = J*f(o?) dx равен площади
Здесь абсциссы общих точек вычисляются по формуле
х<п) = а+(Ь_а) е^( даются следующей таблицей:
где
t(™) *0
п
а
фигуры ABCD (рис.), где СР — график функции y = f(x), то вычисление интеграла эквивалентно отысканию площади. Бблыпая часть М. к. основана на замене кривой CD другими близкими к ней кривыми. Так, разбивая АВ на п равных частей = и заменяя дуги СК19 КгК2, ...» K’w-iP их хордами, получаем фо-рмулу трапеций: +12/! + у2 +
у (Уо +
+ 2ул + ••• +
+ %Уп — 2 + ^УпЛ + Уп) — Точность этих формул (как и вообще всех М. к.) возрастает, когда возрастает п. Однако формула Симпсона вообще дает при У одном и том же п D с значительно более точный результат, чем формула траа — А В
пеции; так как она при этом достаточно проста в употреблении, то ею пользуются чаще других.
Важный класс М. к. получается, если заменить кривую CD одной дугой параболы порядка п, имеющей ?>+1 общих точек с CD [что эквивалентно замене интегрируемой функции / (х) многочленом степени п, совпадающим с / (х) при п + 1 значениях аргумента: х^п\ х[п\ ... i при Разном выборе абсцисс общих точек получаются разные формулы. Так, в случае, когда х<п)= a,
x[n^=a + h, х^= a + 2h, ..., x^ — a+nh — b,
I ~ (Ь-а) [А<п) / (х<п)) + А<п)/ (х<п>) + ... 4
+4ПШП))]> где коэффициенты Адаются следующей таблицей:
А^
1 2 3 4 5 6
42 Чб 1/8 ’/90 19/288 41/840
4п>
V2 4/б 3/8 16/4б 25/эо.
»/35
л(п) А2
А<")
1а(«>
__
Че.
3/8 Чв 2/15 ^/45 25/144 • 25/144 3/280 34/105
__ — — — ’/90 25/96 9/2 80
С4
_ — 0, 930568 0, 769235
_
0, 953090
даются таблицей:
в(п>
В(п)
4П)
4П)
__ — 19/288 9/зб
1 2 3 4
42 5/18 0, 173927 0, 118463
в/п)
В(п)
в<п)
__ — — — — — — 41/840
42 4/э 0, 326073 0, 239314
_ 5/18 0, 326073 0, 284444
_ — 0, 173927 0, 239314—0, 118463
_
Формула Гаусса дает совершенно точный результат для всех многочленов степени не выше 2п+1. Применение ее на практике неудобно, т. к. значения функции помножаются на громоздкие коэффициенты (помимо того, что они берутся для абсцисс, выражаемых также громоздкими числами). Чебышев распорядился произволом в выборе абсцисс общих точек: хо, xi, ..., хп так, чтобы получить формулу квадратур с самыми простыми, именно — равными между собой, коэффициентами. Формула Чебышева имеет вид:
^^[/(Чп))+/«п)) + - + +(яп))]Абсциссы вычисляются по формуле: хьп)=а+<ь-“> 4П)’
даются таблицей:
где п
1 2 3 4
0, 211325 0, 146447 0, 102673 0, 083751
4П)
д(п) «2
0, 788675 0, 500000 0, 406204 0, 312729
_ 0, 853553 0, 593796 0, 500000
t(n)
4п) *4
- 3 — _
1 0, 916249 |
_
0, 897327 0, 687271
Формула квадратур Эйлера — Маклорена:
+ У! + у2 + ... + Vn — 1 +
IXh
+ Wo
получаем формулу Ньютона — Котес а:
iv
_ 0, 887298 0, 669991 0, 500000
0, 788675 0, 500000 0, 330009 0, 230765
Коэффициенты В
4П)
•
'уп — 1 +
Если п — четное число, то, заменяя дуги CKtK2, К2К3К^ ..., Kn^Kn^D дугами парабол, проходящими соответственно через точки: С, К19 К2, K2i К3, К^, ; Кп_2, Kn_lt D, получаем формулу Симпсона: I
а(п) *2
4П)
0, 211325 0, 112702 0, 069432 0, 046910
1 2 3 4
п
IЪ h
282 — уо' ) "з^Зо М
(у«-уо) +
)+-
дает уточнение формулы трапецией. Поправочные члены выражаются здесь через значения производных нечетных порядков от/(х) на концах промежутка интегрирования.
Если эти значения непосредственно не заданы, то их можно выразить приблизительно через конечные разности (см. Конечных разностей исчисление) различных порядков от / (х) и притом различными способами. Так получаются: формула Грегори (называемая также формулойЛапласа):
I ~ h
уо + У1 + У2 + ••• + Уп — 1 +
(Jyn_1 — dt/0) — A(J2yn_2_z122/0) _ 21 (d3yn_3_J3y0) — 3 1OU
863 .
_ 4Уп — 4“^№>уп_5 — Д5гЛ) - ...
bV4:oU
формула квадратур с центральными разностями: Формула Ньютона — Котеса дает совершенно точный результат для всех многочленов степени не выше п.
Если от параболы порядка п, к-рой заменяется данная кривая, потребовать, чтобы она не только имела п+1 общих точек с кривой, но и касалась бы её в этих точках, *го получим формулу Гаусса:
~ Л (2 Vo + l/i + Уз'+ ••• + Уп — 1 + *2 Уп ( ДУп — 1 + Дуп__ЛУ — 1 + ДУо\ 12 \ 2 2 ) +
!= (Ь-а) [ В<">/ ('х<п>) + В<п>/ (х<п)) + ... +
11 /Л3Уп — 2 + 43Уп — 1 Л3у_2 + /13У — 1\ 720 \ 2
2 )
+ 4ПШП))]-
191 р5Уп — 3 + Л5Уп — 2_ ^5у_3 + J5y_2\ 60480 \ 2
2 ) + *
