МНОГОГРАННИКИ — МНОГОЖЕНСТВООни суть (см. табл, на ст. 563—564, фиг. 1—5) правильные тетраедр, куб, октаедр, додекаедр и икосаедр (см.).
Куб и октаедр дуальны, т. е. получаются друг из друга, если центры тяжестей граней одного принять за вершины другого или обратно. Аналогично дуальны додекаедр и икосаедр. Тетраедр дуален сам себе. Правильный додекаедр получается из куба построением «крыш» на его гранях (способ Эвклида), а тетраедр — отбрасыванием половины вершин куба. Так получаются из куба все остальные правильные М. Существует еще четыре правильных невыпуклых М. (см. табл.; фиг. 6—9)(т. н. тела Пуансо), впервые найденные Пуансо в 1809. Первое доказательство несуществования других невыпуклых правильных п«6 М. дал Коши в 1811. р
.
Все этим, многократны (см. Многоугольники). — Если а — ребро правильного М., то радиус описанного, радиус вписанного шара и объем правильного М. равны: . ч
as т/2
[а У б
аУб
1) для тетраедра — — , — — ,
2) для куба
аУз a — — , у,
оч а^2 3) для октаедра — —,
„ а*-9 а3'У2 .
а Уб’
з
’
4) для додекаедра
|Р18+6)/5,
^(15 + 7/5);
5) для икосаедра — 1/10 + 2/5, 4
(з+1/5) У 3,
цГ а3 (З+Уб) — По лу пр а вил ьные М. (тела Архимеда), т. — е. такие, у к-рых все грани — правильные многоугольники нескольких разных наименований, а многогранные углы — все ДРУГ другу конгруэнтны или симметричны. Их всего 13, вполне определенных (см. табл. наст. 565—566, фиг. 10—22), и еще две бесконечные серии т. н. призм и антипризм Архимеда (рис. 2). — Параллелоедры (выпуклые; найдены Федоровым в 1881) — М., параллельным перенесением которых можно заполнить все бесконечное пространство так, чтобы они не входили друг в друга и не оставляли пустот между собой. Таковы, напр., куб или правильная 6 — угольная призма (соты). Топологически различных, т. е. имеющих топологически различные сетки, параллелоедров пять (см. табл., фиг. 23—27). Число их граней — 6, 8, 12, 12, 14. Для того чтобы М. был параллелоедром, необходимо и достаточно, чтобы он был выпуклым М. одного из пяти указанных топология, типов и чтобы все грани его имели центры симметрии (а, следовательно, по одной теореме А. Д. Александрова, и сам М.). Если параллелоедры заполнения смежны целыми гранями, заполнение называется нормальным. Центры параллелоедров такого заполнения образуют параллелепипедальную систему точек Е. Область точек пространства, из к-рых каждая не дальше от нек-рой данной точки О рассматриваемой параллелепипедальной системы Е, чем от всякой другой точки этой системы Е, называется областью Дирихле (или Вороного) Veo точки О в Е; она представляет собой выпуклый М. с центром в точке Е. Совокупность областей Вороного всех точек нек-рой параллелепипедальной системы Е дает нормальное заполнение пространства. Существует замечательная теорема, что произвольное нормальное заполнение может быть афинным преобразованием превращено в такое заполнение Вороного нек-рой параллелепипедальной системы Е. Всякое преобразование симметрии (см.) Е в себя, оставляющее точку О на месте, преобразует Veo в себя и обратно. Группа всех таких преобразований симметрии называетсяголоедрией Е или кристаллография, системой Е. Их всего семь: кубическая, ромбоидальная, квадратная (или тетрагональная), ортогональная (или ромбическая), моноклинная, триклинная и гексагональная.Кристаллографические М. Каждая и» семи групп имеет подгруппы, причем если соответственная подгруппа есть подгруппа данной голоедрии, но не есть подгруппа какой-нибудь в ней содержащейся голоедрии, то говорят, что она ей принадлежит или есть группа сингонии данной голоедрии. Всех различных таких групп и их подгрупп 32, они называются кристаллография, классами. Если взять плоскость общего по отношению к элементам симметрии группы положения и преобразовать ее всеми преобразованиями симметрии одной из этих 32 групп, то получившиеся плоскости ограничат выпуклый М. с центром в точке О, к-рый называется общей формой данной группы. Таких М., следовательно, 32.
Если же допустить, чтобы плоскость, кроме того, была какой-нибудь частью по отношению к элементам симметрии положения, то получается еще 15 частных форм.
Таким образом, всех этих кристаллографических М. 47 (см. Кристаллография).
Примеры нерешенных задач теории М.
1) Штейнитц доказал, что выпуклый М. не со всякой сеткой можно описать вокруг шара; общий же критерий, с какой сеткой описать можно, а с какой нельзя, не найден.
2) Параллелоедры суть выпуклые основные области групп параллельных переносов, но до сдх пор не определены основные типы стереоедров, т. е. выпуклых основных областей произвольных (федоровских) дискретных групп движений.
Лит.: Федоров Е. С., Начала учения о фигурах, СПБ, 1885; Bruckner М., Vielecke und Vielfache, Lpz., 1900; SteinitzE., Polyeder und Raumeinteilungen, в книге: Enzyklopadie der mathematischen Wissenschaften, Bd III, [T.] 1, H. 9, Lpz., 1930; его ж e, Algebraische Theorie der Korper, B., 1930.
МНОГОДОМНЫЕ РАСТЕНИЯ, или многобрачные, полигамные, цветковые растения, у которых наряду с обоеполыми цветками имеются для данного же вида и однополые. Распределение цветков на М. р. бывает весьма разнообразно: на одном и том же растении обоеполые цветки и мужские — андромонэция (у чемерицы, раковых шеек и др.); на одном и том же растении обоеполые цветки и женские — гиномонэция (у Silene, многих сложноцветных и др.); на одном и том же растении обоеполые, мужские и женские цветки — тримонэция (у конского каштана и др.); на одних растениях обоеполые цветки, на других мужские — андродиэция (у Dryas octopetala и др.); на одних растениях обоеполые цветки, на других женские — гинодиэция (у незабудок, многих губоцветных); обоеполые, мужские и женские цветки на различных растениях — триэция (у ясеня, винограда и др.). Между указанными типами имеются переходы. Во многих случаях однополые цветки у М. р. развились из обоеполых путем утраты тычинок или пестиков. Биологическое значение многодомности заключается, быть может, в том, что наряду с разделением полов, облегчающим более выгодное перекрестное опыление, имеется, в случае неудачи последнего, возможность самоопыления.
МНОГОЖЕНСТВО, или полигиния (от греч. polus — много и gune — жена), одна из исторических форм брака, следующая за парным браком (см.) и свойственная патриархальному строю. Употребляемый в качестве синонима М. термин полигамия (см.) (от греч. polus и gamos — брак), многобрачие, имеет более широкий смысл, соответствуя групповому браку (см.), причем не передает одностороннего характера М., предоставляющего лишь мужчине право иметь одновременно несколько жен. М. является сравнительно мало распространенной историч. формой, составляя, наряду с полиандрией (см.), скорее исключение или, по выражению Энгельса, «исторический предмет роскоши».
«Многоженство мужчины, — говорит Энгельс, — было, очевидно, результатом рабства и было доступно только отдельным лицам, занимавшим исключительное положение. В семитической патриархальной семье в многоженстве живет только сам патриарх и, самое большее, неко-
