Задача трех тел). Если п=2, т. е. если мы имеем задачу двух тел, то дифференциальные уравнения движения легко интегрируются до конца, так что координаты одной точки (планета или комета) относительно другой (Солнце) получаются в виде сравнительно очень простых функций времени t и шести введенных интегрированием произвольных постоянных, носящих название элементов орбиты (см.).
Все свойства движений в задаче двух тел могут быть изучены сравнительно просто. Для задачи трех тел общее решение было дано Зундманом (1912) в виде рядов, сходящихся при всех значениях t. Однако это решение вследствие своей сложности и крайне медленной сходимости рядов не может быть использовано в Н. м. и представляет лишь математич. интерес. Только для случая т. н. ограниченной задачи трех тел удалось получить нек-рые результаты, имеющие непосредственное значение для астрономии.
Единственным методом, позволяющим в общем случае задачи п тел вычислять координаты светил, является численное интегрирование (см.) уравнений движения. Но этим путем можно получить лишь таблицу значений координат для небольшого промежутка времени, а свойства движения изучить нельзя. Аналитические методы, пригодные как для представления движения в течение больших промежутков времени, так и для изучения свойств движения, разработаны лишь для нек-рых частных проблем Н. м., важнейшими из к-рых являются: теория движения больших планет, теория движения Луны и теория движения спутников.
Все эти теории базируются на разделении изучаемого движения на основное, происходящее по более простым законам, и на поправки к нему, носящие название возмущений небесных тел, (см.). При изучении движения планеты за основное принимают то «невозмущенное» движение, к-рое получается, если пренебречь притяжением всех остальных планет. Вычисление возмущений, производимых другими планетами, существенно облегчается малостью этих возмущений, позволяющей вычислять их порознь для каждой из возмущающих планет и вести это вычисление последовательными приближениями. Хотя проблема вычисления возмущений и не получила еще вполне удовлетворительного решения, все же Н. м. дает формулы, удовлетворительно представляющие движение больших планет на протяжении нескольких столетий. Когда такие формулы получены (создана теория движения рассматриваемых планет), то нужно еще определить, при помощи имеющихся наблюдений, вероятнейшие значения входящих в них постоянных, в частности найти массы планет. После этого строятся таблицы движения планет, позволяющие путем простых вычислений находить координаты для любого момента времени. Такие таблицы были построены в начале 19 в. Буваром, в середине 19 в. — Леверрье и в конце 19 в. — Ньюкомбом (для Меркурия, Венеры, Земли, Марса, Урана и Нептуна) и Хиллом (для Юпитера и Сатурна).
Аналитические методы дают возмущения в виде рядов, причем каждый член этих рядов также называется возмущением или неравенством. Возмущения, пропорциональные времени, называются вековыми возмущениями, возмущения, изменяющиеся со временем по закону синуса, называются периодическими возмуще 426
ниями. Эти последние делятся на долгопериодические и короткопериодические. Амплитуды возмущений имеют всегда множителем одну или несколько масс возмущающихся планет.
Сумма показателей этих масс называется порядком возмущения. Так как массы планет очень малы (за единицу принимается масса Солнца), то величина возмущений быстро убывает по мере возрастания порядка. Для больших планет весьма немногие возмущения 2 — го порядка оказывают заметное влияние, и только в случаях взаимных возмущений Юпитера и Сатурна приходится вычислять несколько членов 3 — го порядка.
При изучении свойств движения планет очень важную роль играет определение возмущений элементов их орбит (см. Орбиты, Оскулирующая орбита) в виде функций времени.
Вопрос об устойчивости теперешней конфигурации солнечной системы тесно связан с изучением вековых возмущений элементов а, е, i.
Лапласом и Лагранжем было установлено (1776) отсутствие вековых возмущений 1 — го порядка у больших полуосей а планетных орбит.
Пуассон нашел, что большие полуоси не имеют вековых возмущений и 2 — го порядка. С другой стороны, Лагранж доказал (1774), что вековые возмущения эксцентриситетов и наклонностей, получающиеся при интегрировании уравнений, определяющих возмущения обычным способом последовательных приближений, заменяются периодическими членами (с очень большими периодами), если употребить другой метод интегрирования уравнений. Все эти результаты предсказывают устойчивое состояние солнечной системы на чрезвычайно большой промежуток времени. Многочисленные попытки совсем устранить вековые члены в выражениях возмущений (Линдстедт, Гюльден, Ньюкомб, Андуайе) не дали удовлетворительных результатов: полученные ряды расходятся (Пуанкаре) и потому не могут служить для изучения свойств движения;* для вычисления возмущений они также не годятся вследствие своей сложности.
Наряду с вековыми возмущениями большое значение имеют долгопериодич. возмущения, появляющиеся всякий раз, когда времена обращений двух планет находятся в простом отношении. Напр., времена обращений Юпитера и Сатурна относятся, как 2:5, что вызывает в их движениях возмущения с периодом в 900 лет и с большой амплитудой. Вычисление возмущений для малых планет (см. Астероиды) бывает часто много труднее, нежели для больших планет, как вследствие больших значений эксцентриситетов и наклонностей, так и вследствие возможности значительно «более острых» (т. е. выражающихся меньшими целыми числами) соизмеримостей: существуют малые планеты, для к-рых времена обращения относятся к времени обращения Юпитера, как 1 : 1 (см. Троянцы), как 1 : 2 (группа Гекубы), как 1 : 3 (группа Гестии) и т. д. Во всех подобных случаях возмущения весьма велики и для их вычисления нужно создать специальные методы.
Несмотря на многочисленные работы (Пуанкаре, Симонен, Цейпель, Баклунд, Броун и др.), эта задача продолжает и теперь оставаться одной из наиболее актуальных.
Теория движения Луны представляет ряд существенных отличий от теории движения планет. Трудности, связанные с ее построением, были столь велики, что, несмотря на интенсивную работу (стимулировавшуюся
