НАИБОЛЬШИЙ ДЕЛИТЕЛЬ — НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ СПОСОБвходящих в таможенные союзы и преференциальные блоки, ит. п.). При определении таможенных тарифов более низкие ставки пошлин могут относиться лишь к товарам определенных стран (например, бессарабская кукуруза, брабансонские лошади и др.). Торговые договоры СССР, начиная с 1924, неизменно построены на принципе Н. б.
НАИБОЛЬШИЙ ДЕЛИТЕЛЬ, см. Общее наименьшее кратное и общий наибольший делитель.
НАИМЕНЬШЕЕ КРАТНОЕ, см. Общее наименьшее кратное и общий наибольший делитель.
НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ СПОСОБ, метод приближенных вычислений, основной задачей которого является разыскание одной или нескольких неизвестных величин, причем наилучшим приближением к действительным значениям этих величин считаются те, которые обращают в минимум сумму квадратов разностей между вычисленными и измеренными значениями других величин, выражающихся через искомые. Например, пусть измеренные величины у'2,..., у'п зависят определенным образом от подлежащих определению величин xL, х2,..., хт, т. е. являются функциями от них = fdxi, xz, г = 1, 2, 3, ..., п.
Предположим, что выполнено число наблюдений (и), большее, чем число неизвестных (т).
Пусть эти наблюдения (включающие ошибки наблюдения) дали для величин у'19 у2, ..., у'п значения у19 у2,..., уп. Предположим еще, что измерения неодинаково точны и что относительное достоинство их оценивается весами Pi, р2, ..., рп, представляющими некоторые положительные числа, к-рые обычно полагаются обратно пропорциональными квадратам средних квадратич. погрешностей соответственных измерений; за рг — можно принять также число частных, одинаково точных измерений, средней из к-рых является у{. Возьмем теперь сумп му 5 = 2 Рг(Уг — y'i)\ представляющую сумму г= 1 взвешенных квадратов отклонений измеренных значений у от вычисленных. Тогда Н. к. с. для разыскания неизвестных величин х19 х2, ..., хт заключается в том, что за наилучшие приближенные значения их принимаются значения, обращающие сумму S в минимум. Эти значения, согласно известным правилам дифференциального исчисления, находятся из уравнений п
У«)^=0, fe=l, 2,..., wi,
которые получаются от приравнивания нолю dS производных и называются нормальными уравнениями.
Если функции fi линейны относительно *Г1> ••• > хт> Т. 6.
У( = a^Xi + а^>х2 4-... + а$хт, г= 1, 2, ..., п, то нормальные уравнения представляют систему линейных относительно xL, х2,..., хт уравнений, решение которых хорошо известно и более или менее легко выполнимо. Если же функции h нелинейны относительно х2, ..., хт, решение нормальных уравнений может представлять очень большие трудности. Таким образом, Н. к. с. с наибольшим успехом и чаще всего применяется в первом случае или в тех случаях, когда функция / может быть какимлибо преобразованием приведена к первомуслучаю. Например, при намагничивании железа напряжение поля Н может быть связано с магнитной индукцией В равенством вида В=, где и х2 должны быть найдены по значениям В и Н, доставляемым измерениями. Здесь / = • +нхо' — нелинейная функция от xL и х2. Но наше равенство можно легко преобразовать в эквивалентное ему равенство ^- = ^-Ж1+ж2, в котором и будут известны вместе сВиНив которое xL и х2 входят уже линейно. — Н. к. с. наиболее разработан в применении . к теории ошибок. Мы рассмотрим основные применения его в ней.
Случай одного неизвестного.
Пусть для разыскания неизвестной величины х произведено п независимых наблюдений или измерений ее, давших значения x2f ..., хп.
Тогда наилучшим, согласно Н. к. с., приближенным значением х будет х =, обращаюbPi п щее в минимум сумму 2 P^xi ~ж) 2> если 1=1 через Pi обозначить веса произведенных измерений. Этй веса обратно пропорциональны квадратам • средних квадратич. погрешностей значений xi9 т. е.
Д, где о*? равно матемааг тич. ожиданию (х0 — ®Э2> где хо обозначает математич. ожидание случайной переменной представляющей возможные значения х в г-м измерении. При отсутствии постоянной ошибки в измерениях х0 принимается за действительное значение величины х. Полученное приближенное значение х величины х имеет вес а средняя квадратич. — Погрешность приближенного равенства хоъх равна а- =
где <т представляет среднюю квадратич. ошибку отдельного измерения с весом единицы и определяется приближенным равенством
о — S Pi&i — X) 2 п — 1
При некоторых дополнительных предположениях можно показать, что разность х0 — х следует нормальному закону распределения со средней ошибкой и дисперсией Л, в частности тогда, когда ошибку х0 — х можно рассматривать как сумму большого числа независимых одна от другой элементарных ошибок одного порядка малости, происходящих от одновременного действия большого числа независимых друг от друга факторов. В этом случае знание закона распределения ошибки xQ — х дает возможность вычислять по таблицам интеграла вероятностей вероятности различных возможных расхождений между х и х0 и, т. о., оценить степень точности полученного приближенного значения величины х.
Случай многих неизвестных.
Предположим, что п независимых измерений, имеющих веса рх, р2, ..., рП9 дали для величины у значения у19 у2,..., уп, причем величина у связана с неизвестными величинами®!, ®2, • • •, число к-рых менее числа измерений, линейным соотношением у = а2х2 + ... 4 — атхт, в котором параметры aLl а21 ..., ат принимают | для наших измерений точно известные нам
