НЕПРЕРЫВНАЯ ГРУППАПреобразование к называется произведением преобразований f и д: Умножение нек-рого преобразования / на тождественное I не меняет его: /1 = 1/ = /.
(2) Произведение преобразования / на его обратное р1 дает тождественное: /Г1 = /'1/ = 1.
(3) Для любых трех преобразований имеет место ассоциативный закон: (fo)& = /(^).
(4) Совокупность всех преобразований множества М является группой. Можно, однако, рассматривать совокупность не всех преобразований, а любую такую совокупность преобразований, что наряду с каждым преобразованием в нее входит обратное к нему, а наряду с каждыми двумя — их произведение. Тогда мы также имеем группу преобразований. Если множество М является непрерывной средой (топологическим пространством), точнее говоря, если известно, что значит Итжи = ж, (5) п->со
где®!, х2,..., хп — нек-рая последовательность элементов из М, а х также принадлежит М (как это имеет место, напр., в множестве чисел или точек), то можно выделить непрерывные преобразования. Преобразование / называется непрерывным, если из (5) следует lim / (х„) = / (а).
71 — >ОО Множество всех непрерывных преобразований составляет группу непрерывных преобразований. Во многих случаях (но не всегда) группа непрерывных преобразований сама естественным образом оказывается непрерывной средой, т. е. в ней определяется понятие предельного перехода: можно говорить о том, что нек-рая последовательность преобразований сходится к преобразованию. При этом оказывается, что из = f и limgn = g п-кю п->оо следует = (6) П->0О
Такая группа называется Н. г. преобразований. — Пусть М есть множество точек плоскости. Преобразование / называется движением плоскости, если для каждой пары точек хи у из М расстояние между х и у равно расстоянию между f(x) и /(у), Преобразование плоскости называется проективным, если точки, лежащие на одной прямой, переходят в точки, также лежащие на одной прямой. Частным случаем проективного преобразования является афинное, при к-ром параллельные прямые переходят в параллельные. Здесь мы имеем три простейших геометрич. примера Н. г. преобразований: группу движений, группу проективных преобразований и группу афинных преобразований.
Если рассматривать те свойства геометрич. фигур на плоскости, — которые не меняются при движениях плоскости, то мы получим обычную элементарную геометрию. Аналогично возникают геометрии проективная и афинная. Клейном была выдвинута общая точка зрения, согласно к-рой геометрия есть изучение тех свойств фигур, к-рые не меняются при заданной группе непрерывных преобразований. Отсю 670
да — роль теории Н. г. в геометрии. Примем за множество М всевозможные системы по п чисел х19 х2,..., хп, которые мы будем трактовать как компоненты вектора аз. Рассмотрим т. н. линейное преобразование /, переводящее вектор аз в вектор у с компонентами у19 у2, ..., уп, причем преобразование задается формулой п = 2 *= 1, 2, ..., п.
Множество всех линейных преобразований составляет Н. г. преобразований. Можно рассматривать не все линейные преобразования, а, например, такие, которые не меняют длины векторов, т. е. для которых выполнено условие xf+xl + ... + = yl + у% + ... + у%.
Такие преобразования составляют группу линейных ортогональных преобразований. Группы линейных преобразований играют весьма важную роль, в частности, находят свое приложение в квантовой механике.
Современное развитие теории показало, что* при изучении группы целесообразно бывает отвлечься от того факта, что элементы ее являются преобразованиями, а следует трактовать группу просто как множество элементов, в котором установлена операция перемножения, т. е. каждой паре элементов группы поставлен в соответствие элемент, называемый произведением исходных: к=/д, причем в качестве аксиом выдвигаются условия (2), (3), (4).
Элемент I, раньше бывший трждественным преобразованием, теперь называется единицей группы. Вместо обратного преобразования появляется обратный элемент. Существование единицы и обратного элемента теперь требуется автоматически. Для того, чтобы получить Н. г., следует предположить, что элементы ее составляют топологич. пространство и что операция умножения непрерывна, т. е. выполнено условие (6), которое теперь выдвигается как аксиома. Так возникло в математике новое, весьма абстрактное понятие непрерывной, или, что то же самое, топологич. группы. Логически оно слагается из операции перемножения и операции предельного перехода. Так как обе эти операции весьма часто встречаются в математике, то понятие Н. г. принадлежит к числу важных и находит довольно многочисленные приложения. Важнейшим типом Н. г. являются группы Ли [Ли{см.) — основоположник теории Н. г.]. Допустим, что в окрестностях единицы группы можно ввести координаты, т. е. каждый элемент / задать числами /ь /2, ..., /л — его координатами. Тогда закон перемножения к — /д' можно записать для элементов, близких к единице, в координатной форме = 9^(/ь /г, •••> /г >471, £7г, •••» 0г) I г = 1, 2, ..., г, р
Vi — непрерывная функция всех переменных.
Если еще предположить, что функции щ трижды дифференцируемы, то мы придем к понятию группы Ли. Если считать, что координаты единицы все равны нолю, т. е. если принять единицу за начало координат, то, разлагая в ряд Тейлора правую часть соотношения (7), получим г т =
Числа
+ л + 2 ^apqVPg3 р=1 д=1 Opq = Qipq
(Iqp
+ •••
