- 551
ПЛАНИМЕТР — ПЛАНИРОВКА НАСЕЛЕННЫХ МЕСТ
рующий ролик» R, вращающийся в плоскости, перпендикулярной оси рычага. Ролик имеет назначение измерять величину перемещения одной из точек рычага в направлении, перпендикулярном к его оси. При поступательном движении рычага перпендикулярно к его оси е, ролик катится по чертежу, к н° не скользит, а при посту' д' в'/нательном движении в нач правлении оси он только . — н — скользит, но не катится. При <.
R, в любом другом движении роРис. 1. лик частью катится, частью скользит. Пусть концы рычага движутся по кривым К и L (рис. 1). Рассмотрим перемещение рычага из положения АВ в какое-нибудь весьма близкое к нему положение AxBi и установим связь между площадью ДР криволинейного четырехугольника АА^В, «подметенного» рычагом при этом «элементарном» его перемещении, и длиной дуги As, на к-рую повернется точка обода ролика, или «мерой вращения» ролика. Это перемещение заменим тремя следующими: параллельным перемещением из АВ в А'В' (подметается площадь •прямоугольника ВАЛ, где L=AB, мера вращения — Дй), перемещением из А'В'в А^" (подметенная площадь . и — мера вращения — ноль), вращением около точки А± (подметается площадь Ч&ь&а, где q=AR, мера вращения дЬа).
Пренебрегая величинами высшего порядка малости, имеем: ДР=1/7& + ^е2Да, Д$ = ДЛ + ^Да,
откуда ДР = L \s — q g) Да. Любое конечное перемещение рычага можно разложить на элементарные перемещения. Применяя к каждому из них последнюю приближенную формулу, получим после суммирования с переходом к пределу при Дй — > 0, Да — > 0, точное «уравнение планиметра» Р = Ls — q (l ej a (1), где P — подметенная рычагом площадь, s — мера •вращения ролика, a — угол между начальным и конечным положениями рычага. Каждая из переменных величин s, a, Р может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Площадь Р положительна, если при движении рычага остается слева от него (считая от А к В), и отрицательна, если она остается справа.
Кроме обводного рычага АВ с роликом R, полярный П. имеет еще «полюсный рычаг» АС (рис. 2), закрепляемый на чертеже в точке С и соединенный шарниром (в точке А) с обводным рычагом. Если установить полюс С вне фигуры и ‘Л R обвести острием, находящимв) ся в конце В обводного рычага, контур L этой фигуры, то после возвращения к исходРис. 2. ному положению будем иметь а=0. Обводный рычаг подметает при этом, кроме площади X фигуры с контуром L, еще некоторую площадь, заключенную между окружностью К, по к-рой движется точка А, и частью контура L. Но эта площадь подметается дважды: один раз в положительном, другой — в отрицательном направлений, а потому уравнение планиметра дает (для случая, когда полюс — вне фигуры) X = Ls: искомая площадь пропорциональна мере вращения ролика s. Планиметр имеет счетный механизм, позволяющий отсчитывать тысячныедоли оборота ролика. Определение площади посредством П. сводится, т. о., к простому обводу острием В контура L и отсчету оборотов ролика. Предварительно необходимо определить «цену деления» ролика, т. е. площадь, соответствующую одной тысячной оборота ролика, что достигается обводом какой-нибудь фигуры, площадь к-рой легко вычисляется по ее размерам. В случае, когда полюс находится вне фигуры, площадь вычисляется по значению s по более сложной формуле. Разбивая фигуру на части, можно всегда избегнуть этого.
Рисунок изображает планиметр Амслера, изготовленный в СССР на заводе «Геофизика» (в царской России П. вовсе не производились).
При аккуратном обращении этот П. дает площадь фигуры в 6, 5—25, 8 дм2 с погрешностью порядка 0, 25%.
Существуют видоизменения планиметра Амслера, дающие повышенную точность («прецизионные» П.). В «линейном» П. начало обводного рычага движется не по окружности,
Рис. з.
как в полярном П., а по прямой. Замечательно простое устройство П. «топорика» (планиметр Притца); он состоит из одного П-образного стержня, снабженного острием на одном конце и лезвием на другом, и дает погрешность порядка 2—4%.
Лит.: Крылов А. Н., Лекции о приближенных вычислениях, 3 изд., Л. — М., 1935; Фихтенгольц Г. М., Математика для инженеров, ч. 2» вып. 1, М. — Л., 1932; Бик А. Н. иЧеботарев А., Учебник низшей геодезии, 14 изд., М. — Л., 1933; W111е гз F. А., Mathematische Instrumente, В., 1926.
ПЛАНИМЕТРИЯ, первая часть элементарной геометрии, в к-рой изучаются свойства фигур, все точки к-рых лежат в одной плоскости.
В П. подробно изучаются фигуры, образованные частями прямых линий, а также дуг окружностей. В основе логического доказательства теорем П. лежат определенные аксиомы (аксиомы — положения, принимаемые без доказательства). В учебниках элементарной геометрии явно формулируются следующие аксиомы, относящиеся к П.: 1) через две точки можно провести прямую и только одну; 2) если две точки прямой лежат на данной плоскости, то и все точки этой прямой лежат на этой плоскости; 3) через данную точку вне прямой можно провести единственную прямую, лежащую в одной плоскости с данной прямой и не пересекающей этой прямой (аксиома о параллельных прямых).
Новейшими исследованиями показано, что этих аксиом далеко не достаточно для строго логического построения П. Содержание П. и способ ее изложения, даваемые в учебниках геометрии, были установлены еще Эвклидом (300 лет до хр. э.), к-рый впервые дал систематич. изложение геометрии в своих книгах, носивших общее название «Начала».
ПЛ АН ИН А, 1) название ряда горных хребтов на Балканском п-ове; 2) сербское и болгарское название гор, поросших лесом.
ПЛАНИРОВКА НАСЕЛЕННЫХ МЕСТ, разбивка территории населенного места на районы (про-
