таких задач принадлежат 3 знаменитые задачи древности: задача о трисекции угла (данный угол разделить на 3 равные части); задача об удвоении куба (построить ребро куба, объем к-рого был бы вдвое больше данного); задача о квадратуре круга (построить квадрат, площадь к-рого была бы равна площади данного круга). Многочисленные попытки решить эти задачи с помощью циркуля и линейки не дали положительных результатов, но имели большое значение, т. к. привели к целому ряду интересных геометрии, исследований, сыгравших важную роль в дальнейшем развитии геометрии. При этом были открыты новые геометрии. линии, к построению которых сводилось решение задачи. Так, были найдены циссоида Диоклеса, конхоида Никомеда, квадратриса Динострата, спираль Архимеда, а позднее строфоида, улитка Паскаля, лемниската Бернулли и др. Решение задачи сводилось к построению точки пересечения одной из этих кривых с прямой линией. Лишь в конце 19 в. было доказано, что знаменитые проблемы древности не разрешимы с помощью циркуля и линейки. При этом был найден критерий выполнимости построения с помощью циркуля и линейки. Именно, если решать задачу алгебраическим методом, то решение сведется к построению некоторого алгебраич. выражения. При этом было доказано, что алгебраич. выражение лишь тогда может быть построено с помощью циркуля и линейки, когда оно составлено из данных величин с помощью конечного числа рациональных операций и извлечения квадратных корней. Между тем задачи о трисекции угла и удвоении куба сводились к построению корня неприводимого уравнения 3-й степени, а задача о квадратуре круга — к построению отрезка длиною п. Так как а — число трансцендентное, то оно не удовлетворяет указанному выше условию. Отсюда вытекает неразрешимость древних проблем с помощью циркуля и линейки. Большой интерес представляет также задача о построении правильных многоугольников, или о делении окружности на равные части.
Эта задача разрешима при помощи циркуля и линейки лишь в отдельных случаях. Построение правильного треугольника, квадрата, правильного пятиугольника, десятиугольника и многоугольников, получаемых удвоением числа их сторон, было известно в древности. Гаусс дал построение правильного 17 — утольника и доказал, что с помощью циркуля и линейки можно построить правильный многоугольник, число сторон к-рого равно простому числу
вида р = 2 +1, где д — целое число > 0. Для других простых чисел и их степеней задача с помощью циркуля и линейки не разрешима.
В 1797 Маскерони поставил вопрос, какие построения можно выполнить, если вместо двух инструментов — циркуля и линейки — пользоваться лишь одним циркулем. Он доказал, что все построения, выполнимые с помощью циркуля и линейки, могут быть также выполнены при помощи лишь одного циркуля. Штейнер в 1833 определил все те виды построений, к-рые можно выполнить при помощи лишь одной линейки. Он доказал, что если задать на плоскости окружность вместе с ее центром, то при помощи этой окружности и линейки можно решить все задачи, к-рые решаются при помощи циркуля и линейки. Задание на плоскости нек-рой кривой позволяет расширить кругзадач, решаемых с помощью циркуля и линейки. Так, Кортум и Смит в 1866 показали, что если на плоскости задать какое-либо коническое сечение (не окружность), то с помощью циркуля и линейки можно будет выполнить всякое построение, приводящееся к решению уравнений 3-й и 4-й степени. — В общей теории П. г. исследуются также построения, выполняемые: при помощи линейки с параллельными краями; при помощи подвижного прямого угла; при помощи линейки и постоянного отрезка; при помощи шарнирного ромба с одною диагональю, неограниченно продолженной (биссектор).
Лит.: Адлер А., Теория геометрических построе ний, Одесса, 1910; Александров И. И., Методы решения геометрических задач на построение..., 3 изд., М., 1888; КлейнФ., Лекции по избранным вопросам элементарной геометрии, Казань, 1898; Энриквес Ф., Вопросы элементарной геометрии, СПБ, 1913; Steiner J., Die geometrischen Konstructionen, ausgefiihrt mittelst der geraden Linie und eines festen Kreises..., Berlin, 1833.
ПОСТУЛАТ (лат. postulare — требовать), ут верждение, принимаемое без доказательства; встречается обычно в математике, как, напр., «П. о параллельности» (см. Параллельные линии), а также в формальной логике и в истории философии. В отличие от аксиомы, П. не является очевидной истиной. П. — это всякое положение, лишь допускаемое как истинное.
Идеалистическая философия принимает за П. утверждения, к-рые опровергаются практикой, противоречат реальной действительности. Система, построенная на таких П., антинаучна.
В математике в качестве П. допускаются лишь утверждения, к-рые не могут быть опровергнуты, хотя они и недоказуемы; поэтому в математике П. являются важным средством для расширения познаний; они позволяют, не задерживаясь на бесплодных . исканиях доказательства, двигаться вперед. Иногда не различают П. от аксиомы. Например, в «Началах» Эвклида трудно уловить принципиальное отличие П. от аксиомы; вероятнее всего, для Эвклида различие сводилось к тому, что в П. формулировались принимаемые без доказательств свойства простейших геометрии, объектов (прямая, окружность, угол), а в аксиомах — общие свойства величин и фигур.
ПОСТЭМБРИОНАЛЬНОЕ РАЗВИТИЕ, развитие особи после вылупления из яйцевых оболочек. Часто начинается, личиночным периодом.
В этом случае переход личинки во взрослое состояние нередко сопровождается превращением (см. Метаморфоз). Граница между эмбриональным (до вылупления из яйцевых оболочек) и П. р. может сильно варьировать. В простейшем случае организм покидает зародышевые оболочки в стадиях образования зародышевых листков, имея вид простой по строению личинки (см. Планула, Кишечнополостные, Паренхимула, Губки, Плакула, Круглые черви). Выход может осуществляться и на более поздних стадиях в виде сложно построенной личинки (планктонные личинки различных червей, мшанок и др.). При прямом развитии эмбриональный период сильно удлиняется, и животное покидает яйцевые оболочки, будучи в основном сходно с половозрелой стадией. П. р. насекомых связано с длительным личиночным развитием — у одной из цикад (Cicada septendecim из США) продолжается 17 лет; личинка поденки живет 3 года. В стадии куколки организм может также пребывать несколько лет (куколки молочайного бражника Deilephila euphorbiae зимовали до 7 раз, шелкопряда Bombyx lane-
