ПРЕДЕЛОВ ТЕОРИЯния, изготовленных из испытуемого материала.
В последнем случае П. у. определяется нагрузкой, отнесенной к единице площади поперечного сечения стержня, соответствующей появлению остаточных деформаций. Весьма точные исследования показывают, что остаточные деформации получаются при любых, даже незначительных нагрузках, а т. к. величина П. у. как характеристики свойств материала имеет большое значение в технике, то принято П. у. понимать условно, ограничив его некоторыми остаточными деформациями, например 0, 001%, 0, 01%, 0, 02%, 0, 03% от первоначальной длины стержня, что при характеристике, напр., строительного материала условно обозначается через ^0, 001» ^(М!» °0, 02 и Т. Д.
Частным случаем П. у. является предел пропорциональности, выражающийся, по закону Гука, в прямолинейной зависимости между упругими деформациями и нагрузками (см. Упругости теория и Сопротивление материалов).
ПРЕДЕЛОВ ТЕОРИЯ, фундамент современного математического анализа; лишь после создания П. т. в первой половине 19 в. (Абель, Коши) анализ бесконечно-малых принял характерную для его современного изложения строгую форму. Основная задача П. т. состоит в установлении правил, позволяющих, зная пределы нескольких переменных величин, находить пределы простейших функций этих величин. Метод П. т. состоит в том, что сначала выделяется и подробно исследуется простейший класс величин, стремящихся к пределу, т. н. бесконечномалых величин, а затем изучение общего случая сводится к изучению этого простейшего частного случая. Ограничимся здесь рассмотрением последовательностей вещественных чисел; вся теория без существенных изменений переносится и на другие разновидности понятия предела (см.). Пусть а19 а2,..., аП1... — последовательность вещественных чисел, имеющая своим пределом число а; тогда разность ап — а при безграничном возрастании п стремится к нолю и есть величина бесконечно-малая; обратно, если разность между переменной величиной ап и постоянной а бесконечно-мала при безграничном возрастании числа п, то lim ап=а. п-*со
Эта связь и позволяет принципиально свести изучение любого предельного перехода к анализу поведения некоторой бесконечно-малой величины.
Основные теоремы о пределах.
Так называют обычно предложения, утверждающие существование предела алгебраич. суммы, произведения и частного переменных величин, каждая из к-рых стремится к пределу, позволяющие выразить пределы этих функций через пределы их компонент. 1) Если переменные ап, Ьп, сп,..., кп соответственно стремятся при п-^со к пределам а, Ъ, с,..., к, то переменная ••• ± &»» имеет при п-^со своим пределом а ± b ± с ± ... ± к; 2) при тех же условиях lim (апЪпсп ... кп)=аЪс ... к; вчастП->оо ности, если при п — >ооам~>а, то lim ар — ар, П->оо где р — любое постоянное натуральное число; 3) если при n — >ocan — > a, bw — и если Ъ =# 0, то — > у при п — > оо.
Предельный переход в неравенствах. Если при п — >оо Итап=аи lim Ъп=Ъи если для всех достаточно больших п ап<^Ъп> то и а <. Ъ. Следствием этого предложения является теорема: если переменная величина сп при всех достаточно больших п заключена, между переменными величинами ап и Ъп и если при п — >оо все три величины имеют пределы,, то lim an<-lim cn< lim bn. Если при этом? lim ап = lim bn — а, то cn также имеет своим? пределом число а; это предложение весьма часто» применяется для нахождения пределов переменных величин, если непосредственное вычислениепредела представляет затруднения.
Монотонно изменяющиеся величины. Последовательность вещественных? чисел а1? а2, ..., а^,... называется монотонной* если либо для всех nan+1>an (монотонно неубывающая последовательность) либо для всех (монотонно не возрастающая последовательность). Монотонная последовательность всегда имеет предел, если только она ограничена, т. е. если существует такое постоянное положительное число М, что |an| < М для всех п. Этосвойство монотонных последовательностей, имеющее большое значение в анализе и теории функций, может быть обосновано только на база строгой теории вещественных чисел, созданной? во второй половине 19 в.
Пример: легко установить, что число (1+-^п возрастает с ростом п, оставаясь при этом ограниченным; отсюда следует, что существует* предел lim (1+ — V=e. Это число е играет*
весьма значительную роль в математич. анализе. Другим примером может служить последовательность периметров вписанных в данную окружность правильных п-угольников.
При возрастании п периметр растет, оставаясь, ограниченным, и, следовательно, имеет предел;, этот предел называют длиной окружности.
Критерий Коши. Если данная последовательность не монотонна, то решение вопроса о существовании ее предела может представить значительные затруднения. Во многих случаях этот вопрос может быть решен с помощью следующего критерия Коши: для того,, чтобы последовательностьаь а2,..., ап,... имела предел, необходимо и достаточно выполнениеследующего условия: для любого положительного числа е должно существовать такое положительное число N, что \ап — am|<£ для всех пит, удовлетворяющих неравенствам п>.№,.
m>N; короче, члены последовательности с достаточно большими индексами должны как угодномало отличаться друг от друга. Критерий Коши, подобно теореме о монотонных последовательностях, может быть обоснован только на база строгой теории вещественных чисел. Необходимо отметить, что критерий Коши, позволяя во многих случаях установить существование предела последовательности, вместе с тем на дает никакого средства для нахождения этого предела.
Бесконечные пределы. Пусть при п — >оо переменная величина ап безгранично возрастает; это значит, что, как бы велико ни было положительное число А, ап>А для всех достаточно больших п. Очевидно, что в этом случае ап не может стремиться ни к какому пределу при п — >оо. Тем не менее, при этом иногда говорят, что ап стремится к (положительной) бесконечности, и пишут ап — »оо или даже lim an=oo. Лучша П->оо
читать эту запись так: ап безгранично возра-
