ретич. исследования (напр., сумма внутренних углов плоского 6 — угольника равна 720°), или в результате выполнения действия над точными числами. Всякое же число, полученное в результате измерения, представляет собой; вследствие несовершенства органов чувств и приборов, а также в силу неполной определенности измеряемых объектов, лишь приближенные значения измеряемых величин. Равным образом приближенные значения дает часто и вычисление (даже тогда, когда данные точны).
"Так, результат деления 1 на 3, т. е. число г/з» и результат извлечения квадратного корня из числа 2, т. е. число у 2, нельзя представить в виде десятичного числа с конечным числом цифр. Число, представляющее собой приближенное значение выражаемой йм величины, называют приближённым числом, а вычисления с такими числами — П. в* „ Почти всякое практич. вычисление является П. в. (исключение представляют, напр., простейшие денежные расчеты). При выполнении любого П. в. ставятся два вопроса, тесно связанные друг с другом: а) как оценить точность «доставляемых вычислением результатов (учет ‘погрешностей) и б) как обеспечить получение 'требуемой точности результата с наименьшими затратами времени и сил (рационализация вычисления). (Об учете погрешностей см. ниже).
Рационализация вычисления обеспечивается применением ряда выработанных практикой приемов (расположение вычисления по определенной схеме, организация контроля и др.), использованием математических таблиц (см.) <в частности таблиц логарифмов), математических инструментов (см. Инструменты математические), вычислительных машин, графических вычислений, номограмм.
Различают следующие важнейшие виды И. в.: 1) элементарные П. в., сводящиеся к вычислению частных значений функции, заданной нек-рым аналитическим выражением, по данным значениям ее аргументов; 2) решение уравнений с численными коэффициентами и систем ^таких уравнений; 3) интерполяция (см.), т. е. разыскание аналитич. выражения для функции, заданной таблицей значений или графиком; 4) численное дифференцирование и интегрирование функций, заданных таблицей значений или графиком; 5) численное интегрирование дифференциальных уравнений (см.); 6) уравнительные вычисления, рассматривающие ме*тоды обработки результатов измерений. Вопрос об учете погрешностей является основным при всяком П. в. Уже утверждение, что данное число а является приближенным значением некоторого другого числа х, не имеет определенного математич. смысла и требует уточнения: нужен учет погрешности приближенного равенства х^а. Этот учет можно выполнить несколькими способами. Указывают число Ла, именуемое границей абсолютной погрешности приближенного числа а и обладающее тем свойством, что а — Ла < х < а + Ла, откуда — Ла <х — а < Ла или |ж — а| < Л а. Употреби-тельна запись х а (± Л а), к-рая читается 'так: неизвестное х приближенно равно а с погрешностью, не большей Ла (или с точностью . до Ла). Вместо Ла берут границу относительной погрешности, выражаемую обычно в процентах. Запись х 428 (± 1 %) означает, что число 428—0, 01*428 = 423, 72 меньше®, а число — 428+0, 01’428=432, 28 больше®. Можно вовсеотказаться от приближенного числа а, указывая низшую и высшую границы неизвестного ®, т. е. такие числа I и L, по возможности более близкие друг к другу, между которыми содерг жится ®. Так, например, Архимед, желая дать приближенное значение . отношения длины окружности к ее диаметру, т. е. числа п, установил, что 3^<л <3у., Прй записи приближенных чисел (десятичных) обычно сохраняют лишь те цифры,; в к-рых нельзя ожидать б. или м. значительной погрешности.
В этом случае само начертание приближенного десятичного числа характеризует до известной степени его точность; напр., запись ®^37, 0 означает, что в числе ® известны, — кроме целых, еще десятые доли (их ноль); цифра сотых и все последующие неизвестны; в этом приближенном числе один Десятичный знак, но три значащих цифры. Этот способ учета погрешностей посредством подсчета цифр приобретает полную определенность, если условиться, как это делается при составлении математич. таблиц, что границей ’абсолютной погрешности приближенного числа должна быть половина единицы последнего его разряда. Так, всякое табличное значение, взятое, из таблицы 4 — значных логарифмов, имеет погрешности не больше 0, 5* 10”4. В уравнительных вычислениях характеризуют точность приближенных чисел, указывая их средние квадратические погрешности, зависящие не только от наибольших возможных значений погрешности, но и от вероятности различных ее значений.
В результате вычисления с приближенными числами получается приближенное число, погрешность к-рого слагается из погрешности от неточности данных и из вычислительной погрешности, вносимой самим процессом вычисления (например, от неизбежных округлений частного или от пользования приближенными табличными значениями корня и т. д.). Для учета погрешности результата можно воспользоваться каждым из пяти рассмотренных способов учета погрешности приближенного равенства х^а. Чтобы учесть все источники погрешностей, применяют способ границ: находят два по возможности более близких друг к другу числа, между которыми содержится искомое.
Ограничиваясь учетом погрешностей от неточности данных, пользуются способом границ погрешностей (абсолютных и относительных).
В практических вычислениях менее ответственного рода применяют (часто бессознательно и не всегда правильно) способ подсчета цифр, округляя все получаемые приближения до нек-рого разряда, учитывая каждый раз число десятичных знаков и значащих цифр в данных. При этом руководствуются некоторыми правилами, важнейшие из к-рых следующие: 1) при сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим числом десятичных знаков; 2) при умножении и делении приближенных чисел в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим числом значащих цифр; 3) при вычислении промежуточных результатов следует брать одной цифрой больше, чем рекомендуют предыдущие правила. Пренебрежение этими правилами округления приводит к появлению «хвостов ненужных цифр». Так, вычисление веса
