поверхности как плоскость, можно сказать, что изображение всякой бесконечно-малой фигуры есть ее. аффинное преобразование (см.), т. е. такое, при котором всякие параллельные между собой прямые изображаются параллельными же прямыми. Наглядным примером такого преобразования служит деформация фигур, нарисованных на резиновом листе, при растяжении этого листа в некотором направлении. Взаимно-перпендикулярные направления, вдоль одного из к-рых масштаб в данной точке является максимальным, а вдоль другого — минимальным, называются главными направлениями в этой точке.
Нормальные, поперечные и косые сетки. На
сфере можно себе представить бесчисленное множество систем сферических координат^ различающихся между собой положением полюса и ориентировкой* начального меридиана. Две таких системы с полюсами Ро и Zo представлены, напр., на рисунке 1. Изображение всех этих систем на плоскости в какой-нибудь картография. проекции представит бесчисленное множество различных по виду картографии, сеток, относящихся тем не менее к одной и той же проекции. Нормальной сеткой называется простейшая из них или та, к-рая непосредственно получается из определения проекции. Нормальной для данной проекции системой сферических координат называется та, изображением координатных линий к-рой является нормальная сетка. Сетка называется поперечной, если изображает — систему сферических координатных линий, полюс (_Р0) которой удален на 90° от полюса (Zo) нормальной системы, и косой — если расстояние (Zq Ро) между этими полюсами не равно ни нолю, ни 90°.
Нормальные, поперечные и косые сетки перспективных и вообще азимутальных (см. ниже) проекций прежде часто называли полярными, экваториальными и горизонтальными или экваториальными, меридиональными и горизонтальными соответственно. — 'Нередко термины «картографическая сетка» и «картографическая проекция» употребляют как синонимы и говорят о нормальной, поперечной и косых проекциях. — В общем случае пусть проекция определена уравнениями x=fa(z, a), y=fa(z, а), где z и а — сферические координаты изображаемой точки 2Ио (рис. 2), а именно — ее сферическое расстояние z от полюса Zo нормальной системы координат и ее азимут а, а ос, V — прямоугольные координаты изображения этой точки на плоскости. — Пусть полюс Zo нормальной системы сферических координат имеет географич. долготу Lq и широту фо — Тогда, чтобы изобразить географич. меридианы и параллели, т. е. чтобы построить соответствующую косую сетку, поступают следующим образом. — Для круглых равноотстоящих значений широт ф и долгот L вычисляют соответствующие значения z и а по известным основным формулам сферической тригоцометрии, написанным для треугольника ZqPq Mq :cos z — = sin фо sin ф+cos фо cos ф cos Я, ctg a= cos фо cosec я — — sin фо ctg Я, где Я= L — Lo — долгота точки Mo, измеренная от меридиана, проходящего через полюс Zo нормальной системы. Для этих значений z и а вычисляют по уравнениям данной проекции координаты ос, У и строят соответствующие точки. Через точки, соответствующие одинаковым значениям L, проводят меридианы, а через точки с одинаковыми значениями ф — параллели сетки.
Классификация проекций':, и главнейшие свойства отдельных групп проекций. Для кар тографии наиболее существенным является характер искажений данной проекции. По этому признаку проекции делятся на следующие группы: А. Равноугольные, или конформные, проекции, не искажающие углов и, следовательно, сохраняющие подобие бесконечно — малых фигур. — Б. Равновеликие, равноплощадные, или э к ви в а ле нт ные, проекции, сохраняющие площади т. е. уменьшающие всеповерхности в точности соответственно главному масштабу карты. — В. Произвольные проекции — не равноугольные и не равновеликие. Из них иногда выделяют в особую группу равнопромежуточные проекции, во всех, точках к-рых масштаб по одному из главных направлений, т. е. наибольший или наименьший масштаб в данной точке, постоянен и обычно равен главному масштабу. — В большинстве употребительных проекций меридианы и параллели или, по крайней мере, параллели нормальной сетки суть окружности или прямые. Такие проекции классифицируются ещепо виду меридианов и параллелей нормальной сетки. По этому признаку и расположено» нижеследующее их описание.
Описание групп проекций и отдельных проекций. Коническими называются такие про екции, на которых параллели сетки (нормальной) — концентрические окружности, а меридианы — радиусы этих окружностей, прцчем «долготы на карте», т. е. углы (<5) между начальным и произвольным меридианами сетки, пропорциональны соответствующим долготам (Л) в натуре.
Обычно масштаб вдоль параллели на нек-рой параллели — минимум и в обе стороны от этой параллели непрерывно возрастает. Если этот наименьший масштаб равен общему масштабу карты, то соответствующая параллель иногда называется «параллелью касания», а самая проекция — «проекцией на касательном конусе».
Если же наименьший масштаб меньше главного масштаба, то на проекции существуют две» •сохраняющие длину, или «стандартные», параллели, условно называемые иногда «параллелями сечения», а самая проекция в таком случае иногда называется «проекцией на секущем конусе».
В зависимости от закона, связывающего ’ радиусы (е) параллелей карты с широтами (9?) изображаемых параллелей шара, получаются различные виды конических проекций..
Из них практическое значение, и притом весьма большое, имеют только: а) равноугольная Ламберта, называемая у нас часто проекцией Гаусса, хотя Ламберт дал ее теорию многораньше Гаусса (ср. рис. 3, 1, а также БСЭ, том XXIV, ст. 287—288, карта Западной Европы); б) равновеликая, называемая в общем случае проекцией Альберса, хотя Эйлер дал ее уравнения задолго до Альберса, (рис. 3, Ш); в) равнопромежуточная (рис. 3, 11 и БСЭ, tomLXIII, ст. 447—448, карта Азиатской части СССР).
Уравнения конических проекций в полярных координатах д и q суть: <5 = аЯ, q = f(<p) = F (0), где 0 = у — ф~ Масштабы т — по меридианам и п — по параллелями do do ао „ т= — п = ~cosy • Для равноугольных проекции шарае =
для равновеликих е = j/"(d — бшф)
и для равнопромежуточных (т = 1): q = k — ф.
В зависимости от выбора произвольных постоянных (a, k, d), входящих в уравнения проекций, получаем в каждой из этих групп отдельные разновидности, иногда называемые именами авторов: Тиссо, Цингера, Витковского, Красовского, Каврайского..., разработавших 4 данный способ выбора произвольных постоянных.
Конические проекции особенно хороши для изображения стран, вытянутых вдоль параллели. Карты всего СССР в большинстве случаев чертятся в равноугольных или равнопромежуточных конических проекциях.
На азимутальных, или зенитальных, проекциях параллели нормальной сетки — конь
