центрические окружности, меридианы — радиусы этих окружйостей, и долготы на карте равны долготам в натуре. Эти проекции являются, т. о., частным случаем конических, когда £=Л (т. е. а = 1). Квадранты нормальных сеток в четырех важнейших азимутальных проекциях с одинаковым масштабом в центральной точке сопоставлены на рис. 4. — В азимутальных проекциях увеличение обычно бывает минимум или максимум в полюсе нормальной сетки (центральная точка) и медленно изменяется около этого полюса. Поэтому для изображения стран неоколополярных их применяют в косом или поперечном положении, т. е. принимая за полюс нормальной системы сферических координат центральную точку Zo страны. — Сферические расстояния, измеряемые от этой точки, будем обозначать (ср. рис. 2) через z.
Равноугольная азимутальная проекция (рисунок 4, III и рис. 5) называется стереографической и является одной из перспективных (см. ниже) проекций. Она обладает тем замечательным и единственно ей присущим свойством, что на ней не только бесконечномалые окружности, но и окружности какихугодно размеров изображаются окружностями же. В стереография, проекции радиус параллели нормальной сетки q = к tg и увеличения радиальное и поперечное, т. е. вдоль параллели нормальной сетки: m = п — — sec2 у .
При к =2, т. е. при картинной плоскости, касающейся шара, m = п — sec2- — = 1 — f — 4- .. .
В равновеликой азимутальной проекции Ламберта (рис. 4, II, рис. 6 и карты Атлантического океана в БСЭ, т. Ill) g=2sin-|-, т. е. радиус параллели нормальной сетки, соответствующей полярному расстоянию z, равен хорде, стягивающей угол z при центре шара.
Среднее место между этими двумя проекциями занимает равнопромежуточная азимутальна-я проекция, или проекция Постеля (рис. 7); на нормальной сетке этой проекции параллели — равноотстоящие концентрические окружности q ~ z, т = 1, п = z: sin z. Часть сферы, ограниченная кругом, изображается в этой проекции с колебаниями масштаба меньшими, чем в какой бы то ни было другой проекции.
В группу азимутальных проекций входят, очевидно, перспективные проекции — перспективы шара С (рис. 8) на картинную плоскость К из точки зрения О, лежащей всегда на перпендикуляре к картинной плоскости, проходящем через центр С шара. Картинная плоскость в общем случае будет секущей, но часто берется также касательной к шару в центральной точке Zq. — В рассмотренной уже стереографической проекции точка зрения лежит на поверхности шара (d = 1). Эту проекцию еще во 2 в. до хр. э. Гиппарх применял для изображения небесной сферы. После нее важнейшими из перспективных являются гномоническая и ортографическая проекции. — Г демоническая, или центральная, проекция (рис. 4, IV, рис. 9 и 10) есть перспективная проекция с точкой зрения в центре шара (d = 0). В применении к построению солнечных часов, т. е. к проектированию небесной сферы, она была известна уже Анаксимандру (6 в. до хр. э.). Большие круги, или ортодромии, т. е. кратчайшие линии на сфере, изображаются в этой проек 120
ции прямыми линиями. Поэтому она имеет применение для проектирования кратчайших морских и воздушных путей.
Для проведения кратчайших путей между любыми двумя точками земной поверхности применяют гномоническую проекцию на грани описанного тетраэдра, куба или октаэдра, развертываемых затем на плоскость. Рисунок И представляет карту последнего рода, изданную в 1878 франц. геологом Бегюйе де Шанкуртуа. — Этим свойством ортодромичности, т. е. свойством изображать большие круги сферы прямыми линиями, обладают не только гномонические проекции. Наиболее общим типом ортодромических проекций являются двуазимутальные проекции, в к-рых утлы сохраняются не в одной точке, как на гномонической проекции, а в двух точках. Эти проекции могут быть получены из гномонических посредством аффинного преобразования, но уже не относятся к азимутальным в определенном выше смысле.
При d=oo, т. е. при проектирований шара на картинную плоскость ортогональными к ней лучами, получается ортографическая проекция (рис. 4, I и рис. 1), применяемая для карт Луны. — Перспективные проекции с точкой зрения вне шара, на конечном от него расстоянии, называются внешними. Они имеют мало практического значения.
Цилиндрическими (рис. 12) называются проекции, параллели нормальной сетки к-рых — параллельные между собой прямые, а меридианы — перпендикулярные им прямые, причем расстояния меридианов от изображения начального меридиана пропорциональны долготам. Общие уравнения всех цилиндрич. проекций шара (с радиусом, равным единице): ж=/ (^), cos 9^0, гДе постоянная ±<? 0 — ши~ рота «главных» параллелей, сохраняющих длину, или «параллелей сечения». Для т. н. «проекций на касательном цилиндре» = 0.
Масштаб вдоль параллелей всех цилиндрич. проекций пропорционален секансу широты.
Чтобы проекция была равноугольной, расстояния между параллелями с удалением от экватора должны также возрастать так, чтобы в каждой точке меридианный масштаб был тот же, как вдоль параллели. Такая равноугольная цилиндрическая проекция (рис. 12, I) называется меркаторской, по имени ее автора — знаменитого голландского картографа Меркатора. В силу ее равноугольности и параллельности ее меридианов всякая прямая линия на этой проекции изображает локсодромию — кривую, пересекающую на сфере все меридианы под одним и тем же углом. Такую именно линию описывает корабль, идущий постоянным курсом. Поэтому почти все морские карты строятся в меркаторской проекции.
На равновеликих цилиндрических или изоцилиндрических проекциях (Ламберта, рис. 12, III), наоборот, расстояния между параллелями убывают с удалением от экватора, а па равнопромежуточных — остаются равными, и длины вдоль меридианов сохраняются. Изоцилиндрическую проекцию можно получить, проектируя шар на касательный к нему цилиндр лучами, нормальными к поверхности цилиндра; затем цилиндр развертывается на плоскость (см. рис. 12, III). Равнопромежуточная цилиндрическая проекция, сохраняющая длины вдоль экватора, или «равнопромежуточная проекция на касательном цилиндре», называется также квадратной (рис. 12, II), а сохраняющая длины вдоль двух «параллелей сечения» — прямоугольной. В стереографической цилиндрической проекции точки каждого меридиана проектируются на цилиндр, секущий шар по параллелям с широтами лучами, исходящими из точки пересечения диаметрально-
