ветствующим, пропорциональным ей, центральным углом АОВ. Угол АВС (рис., 2), образованный на сфере двумя дугами большого круга, измеряют углом А'ВС' между касательными к соответствующим дугам в точке В или двугранным углом, образованным плоскостями ОВА и ОВС.
Сферические треугольники.
Три больших круга, пересекаясь попарно в двух точках, образуют на сфере ряд сферических треугольников (рис., 3); зная элементы (стороны и углы) одного из них, легко
определить элементы всех остальных. Поэтому рассматривают соотношения между элементами одного из них и притом того, все стороны к-рого меньше половины большого круга.
Стороны треугольника а, &, с измеряются плоскими углами трёхгранного угла ОАВС (рис., 4), углы треугольника 4, В, С — двугранными углами того же трёхгранного угла.
Свойства сферических треугольников во многом отличаются от свойств треугольников на плоскости (прямолинейных треугольников). Так, к известным трём случаям равенства прямолинейных треугольников для треугольников на сфере добавляется ещё 4-й: два треугольника АВС и А'В'С' равны, если равны соответственно три угла: А=А', В — В', С — С'. Таким образом, на сфере не существует подобных треугольников. Сумма углов всякого сферического треугольника всегда больше 180°; разность A-J-B-f-C — ти=д (измеряемая в радианах) — величина положительная и называется сферическим избытком данного сферического треугольника. Замечательное, простое выражение имеет площадь сферического треугольника: В=Я20, где R — радиус сферы, 5 — сферический избыток. Площадь сферического двуугольника, ограниченная дугами двух больших кругов (рис., 5), равна S — 2R2A, где А — угол двуугольника, выраженный в радианах.
Сферическая тригонометрия. По трём любым элементам сферического треугольника АВС (рис., 6; А, В, С — углы,а, Ъ, с — стороны) можно определить три остальные. Следующие формулы сферической тригонометрии связывают углы и стороны треугольника: sin a sin Ь sin с z ч ЛКа = 8 — ПГв = 8 — ЙГс (тео₽ема синусов)
cos а = cos b — cos с + л -+ sin Ъ • sin с • cos А I (теорема cos А= — cos В • cos С + [ косинусов) Ч-sinB • sin С • cos a J sin а • cos В — cos Ъ • sin С — cos с • sinB-cos А sin a-ctgB = sin C-ctg b — cos c-cos A (в этих формулах стороны а, &, с измеряются соответствующими центральными углами; длины этих сторон равны соответственно аВ, &В, сВ).
Для прямоугольных сферических треугольников (а, Ь — катеты, с — гипотенуза, С = 90°) формулы упрощаются; их можно свести к удобному мнемоническому правилу Непера: «Если заменить катеты прямоугольного сферического треугольника их дополнениями до 90°, не принимать во внимание прямой угол С и расположить остальные пять элементов по кругу в том порядке, в каком они находятся в треугольнике (рис., 6), т. е. А, с, В, 90° — а, 90° — Ь, то:1) косрнус каждого элемента равен произведению котангенсов двух прилежащих к нему элементов, напр.: cos А = = ctg(90° — b)« стоили cos A=tg b*ctgc;2) косинус каждого элемента равен произведению синусов двух неприлежащих элементов, напр.
cos (90° — а) = sin с • sin А, или sin а= = sin с • sin А.
Координаты. на сфере. Каждая точка на сфере вполне определяется заданием двух чисел; эти числа (координаты) определяются следующим, образом. Фиксируются нек-рый большой круг (экватор), одна из двух точек пересечения диаметра шара РР', перпендикулярного к плоскости экватора, с поверхностью сферы, напр., Р (полюс), и один из больших полукругов РАР', выходящих из полюса (первый меридиан) (рис., 7).
Большие полукруги, выходящие из Р, называются меридианами, малые круги, параллельные экватору, — параллелями. В качестве одной из координат точки М на^сфере принимается угол 0 = РОМ, или 0 = РМ (в ы с ота точки), в качестве второй — угол (?=A0N между первым меридианом и меридианом, проходящим через точку М (долгота точки, отсчитываемая против часовой стрелки).
Уравнение кривой на сфере.
Подобно тому как на плоскости уравнение между координатами точки F (х, у) =0 или в параметрической форме х =/х (О, у — h(t) представляет нек-рую кривую линию на этой плоскости (см. Аналитическая геометрия), уравнение между координатами 0 и <р представляет нек-рую кривую на сфере: F (0, 90 = 0, или0 = fi(t), <^=h(t) Длина кривой на сфере от точки Мх (< =tx) до M2(t М2) (рис., 8) вычисляется по формуле: <2
L=
ds, где ds — Уd02 — h(sin 6d<p) 2, <2
