ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Тензор, соответствующий этой линейной вектор-функпии, называется внутренним произведением тензоров, соответствующих линейным вектор-функпиям F(a?) и Ж(ж); компоненты этого тензора будут равз ны суммам 2 • Компопенты тензора X
могут рассматриваться как элементы квадратной матрицы 3 — го порядка. Легко видеть, что определённые таким образом действия сложения и умножения тензоров совпадают с соответствующими действиями над матрицами.Можно показать, что сумма 2 оста^тся а инвариантной при преобразовании координат и, следовательно, является скаляром. Эта операция, с помощью к-рой из каждого тензора может быть получен скаляр, называется с в ё рт ыванием* тензора. Если в какойнибудь системе ортогональных координат компоненты тензора симметричны относительно своих индексов, Vfia = ар, то это свойство сохраняется при переходе к любой другой ортогональной системе координат. Такой тензор называется симметричным тензором, а соответствующая ему линейная вектор-функция — симметричной линейной вектор-функцией. Симметричный тензор имеет только шесть существенно различных компонент. Аналогично, кососимметричным тензором называется тензор, компоненты к-рого кососимметричны относительно своих индексов:
^а=-^ЛЛинейная вектор-функция, соответствующая кососимметричному тензору, называется кососимметричной. Кососимметричный тензор имеет только 3 существенно различные компоненты (иЗ компоненты, равные нолю). Этому соответствует то обстоятельство, что всякая кососимметричная вектор-функция V(oc) может быть представлена, как векторное произведение нек-рого постоянного вектора а на вектор независимого переменного : У(х) = [аж], где координаты вектора а будут равны соответственно F32, F13, F2t. Таким образом, можно сказать, что кососимметричный тензор определяется заданием вектора а. Произвольный тензор может быть единственным способом представлен в виде суммы симметричного и кососимметричного тензора: (6) где
=4
+
(?)
суть компоненты симметричного тензора и
Г[аЛ] = 4 (ГаД-^а)
(8) — компоненты кососимметричного тензора.
Равенства (7) и (8) определяют две операции, с помощью к-рых из произвольного тензора может быть получен симметричный и кососимметричный тензоры. Эти операции в тензорной алгебре называются соответственно действиями симметрирования и альтернирования тензоров. Если в каждой точке нек-рой области пространства задаБ. с. Э. т. LIV.
на своя линейная вектор-функция, то говорят, что задано поле линейной вектор-функции.
Переходя к координатам, мы получим, что каждой точке рассматриваемой области пространства будет соответствовать свой тензор; в этом случае говорят, что задано тензорное поле. Компоненты тензорного поля будут являться скалярными функциями точки.
В качестве примера тензорного поля рассмотрим т. н. тензор инерции. Момент инерции / механич. системы" относительно оси, проходящей через точку rt направление к-рой определяется единичным вектором е, выражается след, обр.: У = е/(е), (9) где J — так наз. линейная вектор-функция инерции системы относительно точки г: J (®) = 2 {(»•* -Г) 2а> — -(п-»*)[(п-»•)«’]}• (Ю) Если точку г считать переменной, то будем иметь в каждой точке свою линейную векторфункцию инерции и, следовательно, получаем поле линейной вектор-функции. Переходя к координатам, получим поле симметричного тензора, называемого тензором инерции: ~~ ж1) 2 4" (^2* “ Я'г) 2 4“к + (ЯзА - ^з) 2]
где
дар - (хак — ха) — xfi) },
(И)
fl, если а — (0, если Если рассматриваемая система вращается с угловой скоростью со, то момент количества движения будет представляться вектором или — в координатах — >
з
р т. е. вектор момента будет равен внутреннему произведению тензора инерции на вектор угловой скорости. Важным примером тензорного поля является производная векторного поля. Пусть задано векторное поле а.
Его дифференциал может быть представлен как линейная вектор-функция от дифференциала радиуса-вектора
da=3£(dr), где — символич. обозначение для этой линейной вектор-функции, которое, конечно, нельзя рассматривать как частное от da и dr (в векторном анализе эту линейную векторфункцию обозначают с помощью оператора «набла» через у а). Компоненты тензорного поля, соответствующего полю линейной вектор-функции, будут равны частным производным от координат векторного поля: i da ^) _8a<1.
a dr р дхр* Свёртывая тензор производной векторного поля, мы получим скаляр, к-рый будет равен дивергенции векторного поля а. Альтернируя тензор производной, получим кососимметричный тензор, к-рый будет определяться вектором. Этот вектор, будучи удвоен, даст ротор 2
