при всех ф. Развитие теории Т. р. потребовало сначала уточнения понятий интеграла и интегрируемой функции (Риман, 1854), а затем и обобщения этих понятий (важнейшее принадлежит Лебегу, см. Интеграл). Обычно в ф-лах для коэфф-тов ряда Фурье интегралы понимают в смысле Лебега, а самую функцию /(ф) считают суммируемой (т. е. интегрируемой по Лебегу). Существуют Т. р., не являющиеся рядом Фурье никакой суммируемой функции со ^напр., всюду сходящийся Т. р. V
Если неизвестное входит в ур-ие не только под знаком тригонометрия, функции, но и вне её, то ур-ие не сводится к алгебраическому даже в простейших случаях. Таково встречающееся в астрономии ур-ие Кеплера: Ф = а4-е sin ф. Его можно решать графически, отыскивая точки пересечения синусоиды у = sin ф и прямой линии: у = х & . Можно также получить решение в виде ряда, расположенного по степеням е:х = а 4-е sin а4еп dn-i (sin па) e2 d (sin 2а) .
- " 1. 2
Т. р., сходящийся к суммируемой функции, необходимо является её рядом Фурье (ВаллеПуссен); однако существуют суммируемые функции, для которых ряд Фурье всюду расходится (Колмогоров). Начиная с работ Римана, математики изучают не только сходящиеся, но и расходящиеся Т. р. Примером относящихся сюда теорем может служить теорема Фейера: средние арифметические частичных сумм ряда Фурье (вообще расходящегося) непрерывной функции /(ф):
п
+ -^-i cos ф 4 — BL sin ф ) 4- • • • 4—4- (y + A cos ф 4 — B^in ф 4 — h 4 — Ап cos nx 4 — Bn sin пф)] сходятся к /(ф) в каждой точке.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ, уравнения, в к-рых неизвестное входит под знаком тригонометрия, функций. Точнее, под Т. у. понимают ур-ие алгебраическое относительно тригонометрия, функций от неизвестной величины. Пользуясь зависимостями между тригонометрия, функциями, такое ур-ие всегда можно привести к виду ур-ия алгебраического относительно одной какой-либо функции, напр., к виду: a0cosnx 4 — aiCOsw"1®44- ... 4 — ап = 0. Отсюда получаются п значений cos ф, по к-рым находятся все значения ф, т. е. все корни данного Т. у. Часто решение Т. у. можно упростить, производя нек-рые тригонометрия, преобразования. Напр., уравнение a cos ф 4 — b sin х = с можно переписать в а Ъ с виде: /Wpcos а;+sin х = V ъ
или, вводя вспомогательный угол: а = агс tg
в виде: cos (х — а) = Г с — , откуда ф = /а24 — Ь2 а4 — Arc cos-^ с — — . Возможность произ/а2+^2 водить тригонометрические преобразования представляет столько преимуществ, что иногда предпочитают алгебраическое уравнение, вводя новое неизвестное, заменять Т. у.
Например, чтобы решить кубическое ур-ие z3—3z = q (|^ | 2), достаточно положить: z = 2 cos ф. Тогда получим: 4 соз3ф — 3 cos х = Но, как известно из тригонометрии, 4 соз3ф — — Зсо8Ф = соз Зф. Поэтому
cos Зф ==
, х =~ Arc cos -| и
3 = 2cos^-|- Arc cos-|-da
"т~ • • • 4" ls2... n
dun-i
(ряд этот сходится при е < 0, 6627...).
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. Чтобы дать определение Т. ф., рассматривают окружность радиуса 1 и в ней два взаимно-перпендикулярных диаметра. От конца А одного из них откладывают на u окружности дуги произвольной величины: поло/ жительные в направлении в к/ против часовой стрелки и отрицательные по наX правлению движения ча- / / ; \ совой стрелки. Если С — / /V ' конец дуги, имеющей дли — яг---------ну у, то та же точка С яв- \ i ляется концом дуг, име- \ / ющих величину: д? 4—2я, / ?? 4—4л,... (2л — длина окружности). Проекция рав' диуса ОС на диаметр А'А (от конца к-рого А ведётся отсчёт дуг) называется косинусом дуги (или угла) у (OP = cos у); проекция ОС на диаметр ВВ', перпендикулярный к АА',. называется синусом у (OQ = PC — sin у).
Проекциям приписываются определённые знаки: 4 — для расположенных на О А и ОВ' и — для расположенных на О А' и OB'. Т. о., cos у и sin?? в зависимости от у могут иметь любые значения, заключающиеся между — 1 и 4—1. Эти значения для одного и того же у не являются независимыми друг от друга; они связаны соотношением: cos2 9? 4 — sin2 у = 1. С помощью cos у и sin у можно определить другие тригонометрические функции: тангенс. tg?>=^-- ; с ек а н с, sc у — LUS — ф; (если cos?>=#0); кота нCOS Ф 1
гене, etg° уr = тт — ф ; косеканс, Sin ’
r Sinesc Ф' у= — — (если sin 9?#=0).
К этим функциям в старинной математич. литературе присоединялся ещё синус верзус: sin vers у = 1 — cos у. Функции tg etg у, sc у, esc у геометрически представляются отрезками прямых: tg?? = -4L, etg у = ВК, sc у = OL, esc у = ОК, взятыми с надлежащими знаками. С этим геометрич. представлением связано и происхождение названий тригонометрических функций. Латинское tangens означает касательную (tg у изображается отрезком AL касательной к окружности), secans — секущую (sc у изображается отрезком OL секущей к окружности).
Названия: косинус, котангенс, косеканс представляют сокращения термина complementi sinus (синус дополнения) и ему подобных и выражают тот факт, что cos yt etg у и esc у равны, соответственно, синусу, тан-
