УПРУГОСТИ ТЕОРИЯиз первых примеров эффективного решения важных для техники статических задач является классическая теория кручения и изгиба стержней, данная Сен-Венаном (1855—1856), имевшая громадное значение для проникновения У. т. в технику. Большое значение имеет также «плоская задача», являющаяся двумерным аналогом общей задачи. Ряд крупных успехов достигнут в области распространения волн в упругой среде (теории, имеющей основное значение для сейсмологии) и в области колебаний упругих систем вообще. Большим подспорьем для практического решения задач, ставящихся техникой, является экспериментальный оптический метод, позволяющий определять напряжения в прозрачных моделях, не нарушая цельности тела. Метод этот основан на том, что материал, подвергнутый напряжению, делается двоякопреломляющим.
Большая доля заслуги в разработке вопросов, названных в этой главе, а также общих теоретических вопросов принадлежит исследователям Советского Союза, где работы по У. т. ведутся с беспрестанно повышающейся интенсивностью.
Н. Мусхелишвили.
V. Исторический обзор.
Первый, кто занимался У. т., был Галилей. Он рассматривал (1638) горизонтальную балку с заделанным в стене концом, находящуюся под действием вертикальных нагрузок (как напр. собственный вес), и нашел, что балка стремится повернуться вокруг оси, перпендикулярной к ее длине и лежащей в плоскости стены.
В работе Галилея отсутствовало однако то, что составляет основу У. т., — закон, выражающий зависимость между деформацией и напряжением. Этот закон был открыт Гуком (см. гл. III). Независимо от Гука к этому закону в 1680 пришел Мариотт (Mariotte). Яков Бернулли, изучая изгиб тонких стержней (1705), сделал вывод, что сопротивление стержня изгибу есть пара, пропорциональная его кривизне в изогнутом состоянии. Впоследствии (1742) Даниил Бернулли указал Эйлеру, что дифференциальное ур-ие изогнутой линии тонкого стержня можно получить из требования, чтобы интеграл по длине стержня от квадрата его кривизны был наименьшим. Эйлером был изучен продольный изгиб тонких стержней, чем было положено начало учению об устойчивости упругих систем. Следующий шаг был сделан Кулоном (Coulomb) (1776), который рассматривал изгиб балок конечного сечения. Чтобы составить ур-ия равновесия балки, Кулон рассматривал силу и момент, приложенные к части балки по одну сторону от нек-рого его нормального сечения. Этот метод применяется до сих пор в сопротивлении материалов (см.). Эйлер (1774) и Даниил Бернулли (1751) вывели дифференциальное ур-ие поперечных колебаний балки, составляя вариацию работы изгиба. Ими были изучены различные типы граничных условий. Из других работ, связанных с динамикои упругоготела, отметймфаботу Софии Жермен (Sophie Germain) (1821) об упругих колебаниях пластинок. Различные виды этих колебаний были экспериментально изучены Хладным (Chladni) (1821). Важную роль в развитии У. т. играли работы Юнга (1807). Юнг определил экспериментально коэффициент пропорциональности в законе Гука («модуль Юнга») для ряда упругих веществ.
Он первый стал рассматривать сдвиг как упругую деформацию и установил, что сопротивление вещества растяжению и сдвигу неодинаково. Перечисленные работы посвящены в основном постановке и решению отдельных задач У. т. Начало общей У. т. было положено работами Навье и особенно Коши. Навье (1821) впервые вывел общие ур-ия равновесия и движения упругой изотропной среды и установил условия, которые должны быть выполнены на границе этой среды (см. гл. III).
Главная заслуга Коши заключается в том' что им точно сформулированы важнейшие понятия У. т. и механики деформируемых сред. Коши ввел понятия напряженного и деформируемого состояний в точке и показал, что каждое из этих состояний определяется шестью компонентами. Им же введены понятия о главных осях напряжения и деформации и даны выражения компонентов деформации через производные от смещения. Коши дал обобщение закона Гука (см. гл. III).
Современное состояние У. т. а) Статические проблемы. Основной проблемой статической У. т. является определение напряжения и смещений внутри однородного изотропного упругого тела по условиям, к-рые заданы на его границе. Эти условия могут быть довольно разнообразными. Важнейшие результаты статической У. т. относятся к случаям, когда на всей гра 158
нице тела заданы либо смещения точек границы либо внешние силы, приложенные к границе. В ряде важных для техники частных случаев поставленную проблему удается решить элементарными способами. Эти случаи составляют предмет сопротивления материалов (см.) Отметим наиболее важные общие методы, применяемые к решению основной проблемы статической У. т. Сен-Венан (1855) поставил и решил задачу о кручении и изгибе (см. гл. IV). Задача его представляет собою нек-рое упрощение общей задачи статической У. т. Вторым таким важным упрощением является плоская задача У. т.
Одно из первых общих решений плоской задачи статической У. т. было дано Лауричелла (G. Lauricella) (1909). Лауричелла распространяет теорию потенциала на бигармоническое уравнение и, пользуясь этой теорией, решает поставленную задачу, сведя ее к интегральному ур-ию Фредгольма. Свой метод Лауричелла применяет к случаю односвязной области при заданных на границе внешних силах. Важную роль в развитии плоской задачи У. т. сыграло применение теории функций комплексного переменного. Это применение основано йа формуле Э. Гурса (1898), позволяющей всякое решение бигармонического уравнения выразить через две аналитические функции комплексной переменной. Первым применил метод, комплексной переменной к частным задачам Г. В. Колосов (1909), но наиболее значительные результаты с помощью этого метода получил Н. И. Мусхелишвили.
Он дал (1918) простой метод решения плоской задачи для случая, когда круг конформно отображается на данную область с помощью рациональной функции. Применяя метод комплексной переменной, удалось в последнее время (1931—34) решить плоскую задачу для области произвольной связности при задании на границе как: смещений, так и внешних сил (Н. И. Мусхелишвили, С. Г. Михлин). Лауричелла принадлежит одна из первых (1906) работ общего характера, относящихся к пространственной задаче У. т. Обобщая теорию потенциала на ур-ия упругости, Лауричелла решает упомянутую задачу, при заданных на границе смещениях, сведя ее к интегральному уравнению Фредгольма. Интересное, хотя и несколько тяжеловесное решение пространственной задачи дает А. Корн (Korn) (190’7—14). Метод Корна позволяет решить задачу У. т. при задании, как внешних сил» так и смещений на границе. Очень интересная работа принадлежит Н. Вейлю (Weyl) (1915). Обобщая подобно Лауричелла теорию потенциала на ур-ия У. т., Вейль^ решает статическую задачу при обоих типах граничных условий, сведя ее к интегральному ур-ию Фредгольма..
Область, занимаемая упругой средой, предполагается ограниченной. Имея решение статической задачи, Вейль строит «тензор Грина», с помощью к-рого находит частоты собственных колебаний упругого тела. б) Динамические проблемы. Динамические задачи У. т. делятся на два класса, в зависимости от того, занимает ли упругая среда конечную или бесконечную область. Метод решения задач первого класса дан в упомянутой выше работе Вейля. Задачи второго класса оказываются значительно более трудными, и в настоящее время получены исчерпывающие результаты лишь для некоторых типов этих задач. Лемб (Lamb) (1904) изучал распространение упругих волн в полупространстве. Граница его предполагается свободной от действия внешних сил, возмущение же вызвано сосредоточенной силой, приложенной в некоторой точке на поверхности среды. Лембу удается найти смещение только на границе полупространства. Для решения своей задачи он пользуется представлением функции в виде интеграла Фурье.
G. Л. Соболев (1932), применяя метод «комплексных плоских волн» и используя результаты Лемба в каче-^ стве граничных условий, определил упругие смещения внутри полупространства . Большое значение для развития динамической теории упругости имело нахождение В. И.
Смирновым и С. Л. Соболевым (1932) особого класса решений ур-ий упругого движения (т. н. функциональноинвариантные решения). Пользуясь этими решениями, удалось изучить законы распространения и отражения упругих волн в полуплоскости, в полупространстве, в бесконечном слое, ограниченном параллельными плоскостями, и в ряде других случаев. Особый вид упругих волн был изучен Рейлейем (Rayleigh) (1885) в одном частном примере. Эти волны, называемые волнами Рейлейя, изучались впоследствии С. Л. Соболевым (1932) и особенно Е. А. Нарышкиной (1934), к-рыми достигнуты значительные результаты.
Лит.: Тимошенко С» П.« Теория упругости, Л. — М., 1934; Трефц Е., Математическая теория упругости, 2 издание. Л. — М., 1934; Геккелер И. В., Статика упругого тела, Л. — М., 1934; Пфейффер П..
Колебания упругого тела, Л. — М., 1934; Handbuch der Physik, hrsg. von H. Geiger u. K. Schee, Bd VI, Berlin, 1928 [три предыдущие книги представляют перевод некоторых частей этой последней]; ЛавА., Математическая теория упругости, М. — Л., 1935; Мусхелишвили H. И., Некоторые основные задачи математич. теории упругости, 2 издание, М. — Л., 1935; Колосов Г. В., Применение комплексной переменной к теории упругости, М. — Л., 1 935; Т о d h u n t e r I., A history of the theory of elasticity and of the strength of materials, ed, by K. Pearson, v. I — II, Cambridge, 1886—93.
