племени на тотемические (см. Тотемизм) роды, со счетом родства исключительно со стороны матери, и групповые браки между возрастными группами. Религия У. сохраняет черты, свойственные первобытному анимизму (см.). У., вытесненные европейцами в наименее плодородные части Австралии, быстро вымирают, и численность их с каждым годом уменьшается (см. Австралийцы).
УРАВНЕНИЕ, равенство между двумя функциями того или иного числа «неизвестных» величин; напр. в случае трех неизвестных х, у, z общий вид У.: 9? (ж, у, z) = ip (х, у, z). У. справедливо лишь при нек-рых значениях неизвестных. Напр. У. x2 + y2 = z2 справедливо, если ж = 3, т/=4и2 = 5, и не верно, если х = 3, у =4 и z = 7. У., справедливое при любых значениях неизвестных, называется тождеством; например (х + у) 2 = х2 + 2%У + У'2 есть тождество. Каждая комбинация значений неизвестных, для к-рой У. справедливо, называется решением У. Напр. тройки чисел (ж=р, у = 4, z ==_5), (ж = 0, у — О, z=0) или (ж = 1, у = 1, 2 = 1/2) суть решения уравнения x2+y2=^z2. Решить У. значит найти все его решения. Напр. У. ж2 — Зх 4—2 = 0 имеет два решения — х = 2 и ж = 1 — и не имеет больше никаких других решений. Задача решения У. приобретает различный смысл в зависимости от того, среди какого запаса чисел ищется решение. Например У. ху = 2 допускает ровно четыре решения в целых числах (ж = 1, у = 2), (ж = 2, у = 1), (ж = — 1, у = -2), (ж = — 2, ?/ = -1); если же допускать и дробные числа, то появляется бесконечное множество новых решений, как например (ж = 3, у = |) и т. д. Точно так же У. х2 = -1 не имеет действительных решений, но имеет два мнимых решения x = i и ж = — i. Решением системы У. называется любая комбинация значений неизвестных, для к-рой все У. системы справедливы. Напр. система ж2 + у2 = 8, х+у = 0 имеет два решения (ж = 2, ?/ = — 2) и (ж = -2, у = 2). Две системы У. (или два У.) называются равносильными, если каждое решение одной системы (уравнения) является решением другой системы (уравнения) и наоборот.
Напр. система ж2 + ?/2 = 8, х + у = 0 равносильна системе ж + ?/ = 0, ху + 4 = 0; точно так же У. 2ж + 1=Зж + 5 равносильно У. ж+ 4 = 0.
В случае одного У. известны следующие элементарные правила: 1) если прибавить к обеим сторонам У. одно и то же выражение, то получится У., равносильное первоначальному, 2) если умножить обе стороны У. на одно и то же выражение, к-рое ни при каких значениях неизвестных не теряет смысла (иногда говорят — не обращается в бесконечность) и не обращается в ноль, то получится У., равносильное первоначальному. При умножении обеих сторон У. на выражение, к-рое может обращаться в ноль, у нового У. могут получиться лишние решения, отсутствовавшие у первоначального. Напр. У. х — 2 = 0 имеет единственное решение ж = 2; умножая У. на (ж — 1), получаем другое уравнение ж2 — Зж + 2 = 0, к-рое имеет уже два решения: ж= 2 и ж = 1.
У. называется алгебраическим, если обе его стороны выражаются через неизвестные при помощи четырех арифметических действий или извлечения корня целой степени. Решение алгебраического У. с одним неизвестным может быть сведено к решению У. вида аохп + с^ж”'1 + а2жп~2 + ... + ж + ап = 0. (1)Здесь число п называется степенью У. (предполагая ао=+О). У. первой степени аож+ «! = () имеет единственное решение х = — ~. Решение У. второй степени (см. Квадратное уравненгьё) по новейшим исследованиям Нейгебауера было известно в Вавилонии ранее 1800 лет до хр. э., древнегреческие геометры владели им в геометрической форме; алгебраическое решение квадратных У. стало известным в Европе от арабов. Решение У. третьей степени было получено в Италии в 16 в. (см. Кардано формула).
Тогда же ученик Кардано Феррари решил общее У. четвертой степени. У. вида (1) любой степени п > 1 всегда имеет хотя бы одно решение, или, как обычно говорят, один корень, действительный или комплексный (см. Комплексные числа); это составляет т. н. основную теорему алгебры, доказанную Гауссом (1799). Число различных корней У. n-й степени не превосходит п, а если каждый корень считать с его «кратностью», — всегда точно равно п. Если а19 ..., ап корни У. (1) (при этом каждый кратный корень берется число раз, равное его кратности), то aQxn + а^”-1 + ... + = = а0 (ж — а±) (ж — а2) . . . (ж — ап).
Долго безуспешно пытались выразить корни общего У. пятой степени аожб + с^ж4 + . .. + а5 = = 0 через коэффициенты а0, а19 а2, а4, а5при помощи арифметических действий и извлечения корней, пока Абель в 1826 не доказал, что это невозможно. Вопрос о разрешимости алгебраических У. в радикалах привел в 1830 Галуа к общей теории (см. Теория Галуа), охватывающей важнейшие свойства алгебраических У. ит. н. полей алгебраических чисел.
Среди систем У. простейшими являются системы линейных У. Система из п линейных У. с п неизвестными имеет вид: ^11®1 + ^12^2 + • • . + ^1ИЖИ = &15 + ^22^2 + • • • + ^2п^П ~ ^2>
“Ь ^и2^2 + • • • +
Такая система имеет одно единственное решение, если определитель (см.), образованный из коэффициентов а^, отличен от ноля. Решение это дается формуламижг, г = 1, 2, 3,. . ., п, где А есть определитель из коэффициентов а Дг тот же определитель, но с заменой г-fo столбца столбцом правых частей У., — т. е. столбцом из &г-. Вообще говоря, решение системы У. (не обязательно линейных) сводится к решению одного У. при помощи т. н. исключения неизвестных (см.).
Кроме алгебраических У. часто приходится иметь дело с трансцендентными У., как напр.
sin ж — Лж = 0. При практическом числовом решении трансцендентных У., так же как и при числовом решении алгебраических У. высших степеней, чаще всего приходится применять приближенные методы решения. Среди них наиболее просты метод Ньютона и метод ложного положения (Regula falsi). Метод Ньютона заключается в следующем: ищется корень У.
/(ж)=0. Пусть известно приближенное значение (практически первое приближение часто удобно находить графически) хг корня ж0.
Дальнейшие приближения определяются формулами хг = хг, вообще «я+, = х„,
