квази-аналитическая (Р) Ф. f(x) вполне определяется на всем отрезке знанием ее значений на какой-нибудь его части [а'<ж<6'].
Это предложение дало Бернштейну возможность определить квази-аналитическое продолжение (Р) как сохранение неравенства E„Kf<M-QnK в более широком отрезке [с <ж< d], содержащем в себе данный отрезок Наблюдающийся факт существенно различного продолжения данной Ф. f(x) за отрезок [а, &] в зависимости от перемены базы пг<п2 < п3..,<пк <... квази-аналитического продолжения (Р) С. Н. Бернштейн уподобляет факту многозначности обычных аналитических Ф.
Другое определение полагает для квази-аналитичности Карлеман. В то время как квазианалитические (Р) функции С. Н. Бернштейна могут не обладать даже и первой производной, Карлеман ставит непременным условием наличие у рассматриваемой им функции f(x) производных всех порядков. Он обозначает через СА семейство всех таких Ф. f(x), для к-рых в данном отрезке [а, &] справедливо неравенство: \f<1l)(x)\<kn — АП9гдеА19А2, ..., Ап,... — данная последовательность положительных чисел, а к — любое положительное постоянное, независящее от п.
Основной теоремой Карлемана-Данжуа является следующее важное предложение: для т о гочтобы семейство Сл было квазианалитическим (т. е. сохраняющим свойство: знание Ф. на части [а', Ъ'\ отрезка [а, 6] определяет ее на целом отрезке), н еобходимо и достаточно, чтобы всякая монотонная мажоранта ряда S — тг= была расходящимся р я V ап дом. Лично Данжуа установил лишь достаточность этого условия. Определение Карлемана. уже получило приложение к теории моментов; его отношение к определению С. Н. Бернштейна оказалось неопределенным, так как здесь нет ни тождества ни отношения общего к частному.
- Н. Лузин, Математическая Ф. является основой функциональной зависимости. Возможность выразить закономерности природы, связи между отдельными физическими, химическими и т. д. величинами через математические Ф. является ценным орудием научного исследования. Она позволяет на основе измерения значения отдельных изменяющихся величин вычислить, а значит и предвидеть другие значения их, к-рые не были непосредственно измерены, позволяет вывести новые производные связи между величинами, новые закономерности. Однако то обстоятельство, что функциональная зависимость способна выразить количественную сторону множества разнообразнейших закономерностей природы, идеалистически настроенные естественники и математики истолковывают так, что «в природе нет ни причины, ни следствия» (Мах), что существуют лишь одни функциональные соотношения. Для обоснования этого махисты используют затруднения при установлении причинной зависимости в движении электронов, к-рые испытывает современная физика (см. Причинность). Но вопрос заключается не в том, что наши описания причинных связей еще не всегда точны и при нынешнем состоянии науки не всегда могут быть выраженыв точной математич. формуле, а в том, что причинная закономерность объективно существует в природе как одна из форм всеобщей связи.
Функциональная зависимость не может исчерпать и заменить собой причинную связь.
Она отражает объективные закономерности, присущие самим вещам, но в еще менее полной форме, чем причинность. Функциональная зависимость отражает лишь количественную сторону связей и отношений.
Э. К.
Лит.: ЛузинН. Н., Интеграл и тригонометрический ряд, М., 1915; его же, Lemons sur les ensemblesanalytiques et leurs applications, P., 1930; Burkhardt H., Entwicklungen nach oszillierenden Funktionen, Lpz., 1901; Hobson E. W., The Theory of Function of a Real Variable, 2 Vis, Cambridge, 1921—2P>; Borel E., Lepons sur la th£orie des fcnotions, P. [1905] (cm. Cinq lettres sur la thSorie des fonctions); его же, Methodes et probldmes de la th£orie des fonctions,. P., 1922; Lebesgue H., Sur les functions re r6sentables analytiquement, «Journal de mathSmatiques pures et appliqu6es», P., 1905; Bernstein S., Lepons sur les propri6t£s extrGmales et la meilleure approximation des fonctions analytiques d’une variable гёеПе, P., 1925; Carle man T., Fonctions quasi-analytiques, P., 1926.
ФУНКЦИЯ (в биологии), специфическое для данного органа или части отправление, связанное с общей жизнедеятельностью организма. Это отправление определяется как строением самого органа (части), так и его соотношением с другими органами (частями) и с внешней средой на каждой стадии филогенетического и онтогенетического развития. Поскольку форма и функция взаимно обусловливают друг друга, можно отметить известные общие принципы их изменений в течение эволюции организмов. Большинство органов даже высших животных не является настолько специализированным, чтобы их Ф. была строго ограничена одним единственным отправлением. Так напр., парные конечности наземных позвоночных, являясь органами движения, служат однако и органами хватания, защиты или даже нападения.
Так. обр. в любом органе различают главную Ф. (или функции) и б. или м. значительный ряд второстепенных. В процессе эволюции второстепенная Ф. может выдвинуться на место главной, а последняя отойти на задний план и затем даже вовсе исчезнуть. Такая замена связана конечно с соответственным преобразованием строения органа и представляет собой один из самых основных принципов эволюции органов — принцип смены Ф. (А. Дорн). — Примером такой смены может служить процесс обт разования руки человека из лапы четвероногого животного или образования летучки из чашечек на плодах сложноцветных. В других случаях наблюдается разделение Ф. между частями органа и вместе с тем и разделение самого органа на несколько новых (обособление непарных плавников у рыб, метаморфоз части листа в усик). При прогрессивном развитии органа его Ф. приобретает более активный характер («принцип активации») или происходит также увеличение числа Ф. («принцип расширения Ф.») (напр. при прогрессивном развитии плавников у высших рыб). При специализаций более совершенное выполнение основной Ф. связано обычно с исчезновением ряда добавочных — «принцип уменьшения числа Ф.» (напр. у животных — конечности копытных, у растений — типичные спорофиллы, как напр. тычинки).
Регрессивное развитие органа может также быть связано с уменьшением числа Ф., а в особенности с ослаблением, уменьшением активности и т. д.
ФУНКЦИЯ (в психологии), термин, имеющий различное и не всегда определенное
