ЭЛЕКТРИЧЕСТВО. Работа электрических сил. Потенциал. Работа, совершаемая силами электрического поля при перемещении заряда q на отрезок dl, равна F cos (Е, dl) dl = qE cos (_E, dl) d} = qEidl.
В частности работа А при перемещении на расстояние dl единичного положительного заряда равна: А =* E^dl» Работа, совершаемая при пермещений единичного положительного заряда по конечному пути L, равна А = £ Etdl,
где знак L у интеграла означает, что, необходимо вычислить сумму значений подъинтегрального выражения для всех элементов линии L.
Эта операция называется интегрирован иемполинии L. е В частности работа электрических сил поля элементарного (точечного) заряда q, совершаемая при перемещении на dl пробного единичного положительного заряда, согласно (6а) равна: л = д<? 1 = -^-со8(В, аг)(« = ^й/г, (18) где dR есть проекция перемещения пробного заряда dl на проведенный из возбуждающего поле заряда а радиус-вектор X Л (см. рис. 3). Как явствует У \ из чертежа, dR есть вместе / \ dl \ с тем приращение численного / значения радиуса-вектора JR, /С — т. увеличение расстояния пробного заряда от заряда q.
Рис. з.
Следовательно и работа, совершаемая при перемещении пробного заряда пр произвольному конечному пути L, также будет зависеть лишь от того, как при этом перемещении изменяется расстояние пробного заряда от заряда q, т. е. будет зависеть только от р ... положения начальной и конечной точек пути L, ч / но не от формы этого пути. Так например, рабоr,/ у 4 та электрических сил на . . / пути I/j (рис. 4) равна их / работе на пути L: избы/ точная работа, совершавмая на пути при перер, мещении пробного заря* ’ да за пределы сферы радиуса R^, компенсируется отрицательной работой, совершаемой при последующем приближении пробного заряда к заряду q на последнем участке пути Согласно равенству (18), работа А при перемещении dl может быть представлена в форме полного дифференциала: м
где R есть численное значение радиуса-вектора К. Следовательно работа, совершаемая при перемещении епиничного положительного заряда из точки в точку Р2 по конечному пути L, равна
L ь где Rt и К2 суть расстояния начальной и конечной точек пути от заряда q. Т. о. работа эта действительно зависит только от положения начальной и конечной точек пути.
Так как поле произвольной системы зарядов можно рассматривать как сумму полей каж 590
дого из элементов этих зарядов, то стало бь! ть всякое постоянное электрическое поле обладает этим чрезвычайно важным свойством: работа сил этого поля Па произвольном пути между двумя точками зависит только от положения этих точек и вовсе не зависит от формы пути.
Это свойство постоянного электрич; поля дает возможность ввести в рассмотрение чрезвычайно важное понятие о потенциале постоянного электрического поля. Определение: разность потенциалов между двумя точками постоянного электрического поля равна взятой с обратным знаком работе, совершаемой силами поля при перемещении единичного положительного заряда из первой точки во вторую.
’ Стало быть разность потенциалов dtp между двумя точками, отделенными бесконечно-малым расстоянием dl, равна в й(р = -А = -Е]$1.
(19) Разность же потенциалов — между точками 1 и 2, находящимися на конечном расстоянии друг от друга, определяется интегралом
(19а) причем этот интеграл может быть взят по любому пути, соединяющему точки 1 й 2.
Понятие потенциала играет чрезвычайно важную роль в ученйи о постоянном электрич. поле, и пользование йм чрезвычайно облегчает решение ряда конкретных задач. В частности весьма существенно, что заданием потенциала как функции точки однозначно определяется и напряженность постоянного электрического поля в каждой его точке. Таким образом задача изучения векторного поля напряженности Е может быть сведена к значительно более простой задаче изучения скалярного поля потенциала у.
Не имея возможности останавливаться здесь на этих вопросах (см. Потенциал, Градиент), мы отметим только одно важное для дальнейшего обстоятельство. Независимость работы сил данного поля от формы пути является необходимым и достаточным условием того, чтобы работа сил этого поля на любом замкнутом пути была равна нулю.
Действительно, рассмотрим произвольный почти замкнутый путь PMQ (рис. 5). Работа на этом пути должна равняться рам боте на прямом отрезке PQ, соединяющем Р с Q. При сближении Q с Р ( j
отрезок этот обращается в нуль, а путь PMQ становится замкнутым.
Так как при этом работа на от
Рис. 5. резке PQ становится равной нулю, то и работа на замкнутом пути равна нулю. Легко доказать также, что и, обратно, из равенства нулю работы на любом замкнутом пути вытекает независимость работы от формы пути.
Т. о. из доказанного следует, что работа сил постоянного электрического поля на любом замкнутом пути L равна нулю
Exdl = 0,
(20)
где кружок у знака интеграла отмечает замкнутость пути интегрирования L. Заметим, что линейный интеграл произвольного вектора Е, взятый вдоль какого-либо замкнутого пути
