ЭЛЕКТРИЧЕСТВОмагнитные явления нами, вообще говоря, непосредственно не воспринимаются, так что судить о них мы можем только по сопровождающим их переходам энергии электромагнитной в другие формы энергии (механическую, тепловую, химическую и т. д.). Поэтому система уравнений поля приобретает физический смысл лишь в том случае, если к ней присоединить выражение энергии электромагнитного поля.
В теории Максвелла, базирующейся на уравнениях (Iх) — (Vх), выражение энергии поля не может быть выведено из этих уравнений и должно быть постулировано независимо от этих уравнений на основе обобщения данных опыта. Напротив, исходя из уравнений электронной теории, отличающихся (в рамках рассматриваемой в этой главе области явлений) от уравнений Максвелла лишь заменой уравнения (I) или (Г) на уравнения (Va) и (Vb), можно однозначно вывести выражение электромагнитной энергии без каких-либо добавочных допущений. Ибо, с одной стороны, уравнение (Vb) определяет силы, действующие на электрические заряды, с другой стороны, с точки зрения электронной теории первым этапом перехода энергии поля в другие формы всегда является переход ее в механическую (кинетическую) энергию движения элементарных электрических зарядов, которая — затем может уже в свою очередь переходить в энергию тепловую, химическую и т. д. Существенно, что энергия электромагнитного поля выражается одинаковым образом и в теории Максвелла и в электронной теории (в случае отсутствия диэлектриков и магнетиков). Вывод этого выражения из уравнений электронной теории таков.
Сила, действующая на точечный заряд q, выражается формулой Лоренца (8). Если же исходить из объемного распределения зарядов с плотностью е, то сила, действующая на находящийся в элементе объема dV элемент заряда dq = QdV, выразится очевидно аналогичной формулой fdV = Q | Е + i [»Я] j — dV. Работа, совершаемая
этой силой за единицу времени, будет равна произведению ее на путь, проходимый зарядом в 1 сек., т. е. на v: vfdV = QvEdV.
В выражение работы входит только Е, ибо силы магнитного поля (vH) перпендикулярны перемещению заряда v и поэтому никакой работы не совершают. Наконец полная работа А, совершаемая силами электромагнитного поля в нек-ром объеме dV за единицу времени, равна сумме (или интегралу) работ, совершаемых в каждом его элементе d V: A = f QvEdV = (38)
(см. уравнение Va). Пользуясь уравнениями поля (I') — (IIх), можно выразить плотность тока J через напряженности поля и затем привести (38) к следующему виду:
f 8л (39) V
s где S есть замкнутая поверхность, ограничивающая объем V.
Из (IIх) следует: . с + „ 1 дЕ А = ~Ъ1
В векторном анализе доказывается, что для любых двух векторов Е и Н справедливо равенство Е • rot Н = Н • rot Е — div [jEBT] .
Стало быть,„ с с .. г1 „ дЕ JE=~ Л rot Е~-~ dlV — ЕН — Е -т, — .
4л 4л 4л dt Внося сюда значение rot Е из (!'), получаем: JE=-~(h.^ + E^-\-~ div [_£Ш] = 4л \ dt dt ) 4л 1A
Z*
= -8^0£(B2 + rf2) -^diVr-BH]-Внося это в (38) и приняв наконец во внимание, что согласно теореме Гаусса Г div [EH]dV = $[EH]ndS, V
S получаем (39). Если ввести обозначения W=~ Г [E2 + H2]dV
(40)
ол,/
V
и
(41)
Р=~[ЕН], 4л
то уравнение (39) примет вид: А=
(42) S
Предположим сначала, что объем интегрирования V обнимает собою все электромагнитное поле (т. е., вообще говоря, все бесконечное пространство) и что последний член уравнения (42), представляющий собою интеграл по (вообще говоря, бесконечно удаленной) поверхности S, охватывающей это поле, равен нулю. Тогда уравнение dW это примет вид: А= . Стало быть работа сил электромагнитного поля за единицу времени равна убыли функции W за то же время. А это и значит, что эта функция W выражает собой энергию электромагнитного поля, за счет к-рой производится работа сил этого поля.
В том случае, когда мы рассматриваем нек-рый конечный объем V, не охватывающий собою всего поля, убыль находящейся в этом объеме энергии W= -г — I (Е2 + H*) dV
ОЛ
V может обусловливаться не только затратой части этой энергий на работу А, но и выходом другой ее части, сохраняющей форму энергии электромагнитной, за пределы объема V. Иными словами, энергия поля может вытекать через граничную поверхность 8 за пределы объема V. Так напр., электромагнитная волна, излучаемая каким-либо находящимся внутри V источником и распространяющаяся за пределы поверхности 8, уносит с собою соответствующее количество электромагнитной энергии. Переписав уравнение (42) в формемы убеждаемся, что убыль энергии действительно складывается из работы А, совершаемой внутри объема V, и из утечки энергии $ PndS через границу этого объема 8 V. (Конечно величина этой утечки может быть и отрицательной, если вектор Р направлен внутрь поверхности 8, т. е. проекция его Рп на внешнюю нормаль к поверхности отрицательная, в этом случае энергия втекает извне внутрь объема V). По существу же величина этой утечки зависит только от напряженностей поля ЕиНна границе объема V [ибо только ими согласно (41) и определяется значение Р на этой границе].
Т. о. поток электромагнитной энергии, протекающий за единицу времени через замкнутую поверхность S, равен ср PndS, причем 8
вектор Р определяется уравнением (41). Это положение называется теоремой Пойнтинга, а вектор Р — в ектором Пойнтинга. Теорема Пойнтинга играет важнейшую роль при изучении всех процессов излучения электромагнитных волн.
Часто из теоремы Пойнтинга делается тот вывод, что в каждой точке поля повок энергии равен Р, т. е. что через проходящую через данную точку поля площадку в 1 см2, перпендикулярную вектору Р, протекает за единицу времени в направлении этого вектора Р единиц энергии.
Применение этого положения к произвольной замкнутой поверхности действительно приводит нас вновь к доказанному только что уравнению (42). Однако положение это, позволяющее дать весьма простое и наглядное истолкование ряду явлений, выходит за пределы теоремы Пойнтинга, доказанной для замкнутых поверхностей, и не может быть строго обосновано. Ибо в каждой отдельной точке поля поток энергии может отличаться от 2* на некоторую величину Т, причем теорема Пойнтинга не будет нарушена, если только линии потока Т замкнуты и если таким образом поток Т выносит из произвольного объема V столько же энергии, сколько и вносит в него.
