С тригонометрическими величинами действиями с соответствующими им векторами, Вместо того, чтобы складывать, вычитать, делить или перемножать тригонометрические функции, эти действия можно производить с соответствующими им векторами. Результирующий вектор будет соответствовать результирующей тригонометрической функции.
На первый взгляд может показаться, что подобная операция только усложняет дело, так как вводится некоторое новое понятие, которое требует освоения. В действительности это не так. Операции с векторами оказываются значительно проще, если для их изображения применить комплексные числа.
Очевидно, что вектор А (фиг. 0.4) может быть представлен как сумма вектора а и пер- перпендикулярного ему вектора Ь.
Фиг. 0.4.
Если условиться выражать расстояния от начала координат вдоль оси X - ов действительными числами, то вектор а вполне определится одним единственным числом, выражающим его длину. Направлению вправо от начала координат будет соответствовать знак „ + ", а влево — знак „ — ".
Второй составляющий вектор, изображаемый отрезком Ь, уже не может быть просто определен числом, так как он отличается от первого вектора еще и направлением.
Это изменение направления можно было бы отметить каким-нибудь условным знаком, который позволил бы не спутать вектора одного направления с векторами другого.
В этом случае и второй вектор можно было бы также обозначать числом с указанным значком, причем число и знак опять-таки выражали бы длину вектора и направление его вверх либо вниз.
Можно поступить и иначе. Заметив, что умножение числа, выражаю- выражающего длину вектора, на (— 1) поворачивает направление вектора на 180°, посмотрим, нельзя ли найти такое число, умножение на которое поворачивает вектор на х90°. Обозначим это число буквой /. Так как двойной поворот вектора на 90° создает доворот на 180°, то очевидно, что двойное умножение числа на / должно дать (—1).
Поэтому
или
1) Совершенно так же, например, повороту на 45° будет соответствовать умножение числа, выражающего длину вектора, на число
Равным образом умножение, например, на число
соответствует повороту на 10°. Выражение соответствует вектору длиной Ат, повернутому относительно оси абсцисс на угол в.
Выражение
А = Ат(— 1) к EEzAmj *
оответствует вектору, вращающемуся с частотой ш.
В обоих последних случаях вектор выражен уже не комплексным числом, а степенной функцией.
С аналогичным изображением вектора, но в другой форме, мы встретимся дальше.
