его указаніемъ на незначительность математически необходимаго, а между тѣмъ при этомъ пріемѣ опускаемаго члена, или на сводящуюся къ тому же возможность безконечнаго или любого приближенія и т. и., — это было указано въ предыдущемъ примѣчаніи. Если бы въ той дѣйствительной части математики, которая именуется дифференціальнымъ исчисленіемъ, общія начала метода были отвлеченно изложены и иначе, чѣмъ это дѣлалось доселѣ, то сказанные принципы и трудъ надъ ними оказались бы столь же излишними, такъ какъ въ нихъ самихъ есть нѣчто ложное и противорѣчивое.
Если мы изслѣдуемъ своеобразіе этой частя математики путемъ простого выдѣленія того, что въ ней существуетъ, то ея предметомъ окажутся а) уравненія, въ которыхъ любое число величинъ (мы можемъ здѣсь вообще остановиться на двухъ) связано въ опредѣленное цѣлое такъ, что, во-первыхъ, ихъ опредѣленность состоитъ въ эмпирическихъ величинахъ, какъ ихъ постоянныхъ предѣлахъ, и затѣмъ въ способѣ связи какъ съ послѣдними, такъ и между собою, какъ это вообще имѣетъ мѣсто въ уравненіяхъ; но такъ какъ для обѣихъ величинъ дано лишь одно уравненіе (тоже справедливо относительно многихъ уравненій со многими величинами въ томъ смыслѣ, что число уравненій всегда менѣе, чѣмъ число величинъ), то это уравненія неопредѣленныя; а во-вторыхъ, что одна изъ сторонъ, сообщающая величинамъ ихъ опредѣленность, состоитъ въ томъ, что онѣ (по крайней мѣрѣ одна изъ нихъ) даны въ уравненіи въ степени высшей, чѣмъ первая степень.
Здѣсь нужно сдѣлать нѣсколько замѣчаній; во-первыхъ, что величины по первому изъ вышеизложенныхъ опредѣленій имѣютъ вполнѣ лишь свойства такихъ перемѣнныхъ величинъ, какія встрѣчаются въ задачахъ неопредѣленнаго анализа. Онѣ неопредѣленны, но такъ, что если одной почему-либо сообщается вполнѣ опредѣленное т.-е. числовое значеніе, то и другая становится опредѣленною; такимъ образомъ, одна изъ нихъ есть функція другой. Категоріи перемѣнныхъ величинъ, функцій и т. п. имѣютъ поэтому для той специфической опредѣленности, о которой здѣсь идетъ рѣчь, лишь формальное значеніе, такъ какъ этимъ категоріямъ свойственна общность, не содержащая еще того специфическаго, къ коему направленъ весь интересъ дифференціальнаго исчисленія, равно какъ изъ нихъ нельзя вывести этого специфическаго и черезъ анализъ; это суть простыя, незначительныя, легкія опредѣленія, которыя становятся трудными лишь постольку, поскольку въ нихъ включаютъ для того, чтобы затѣмъ вывести изъ нихъ, то, что имъ несвойственно, именно специфическое опредѣленіе дифференціальнаго исчисленія. Что касается далѣе т. наз. постоянной величины, то о ней слѣдуетъ сказать, что она есть ближайшимъ образомъ безразличная эмпирическая величина, имѣющая для перемѣнныхъ величинъ опредѣляющее значеніе лишь по своему эмпирическому опредѣленному количеству, какъ предѣлъ ихъ минимума и максимума; но способъ соединенія постоянной величины съ перемѣнными есть одинъ изъ моментовъ для природы той частной функціи, которую образуютъ эти величины. Наоборотъ, постоянныя величины суть сами функціи; поскольку, напримѣръ, прямая линія имѣетъ значеніе параметра параболы, то это значеніе приводитъ къ тому, что линія
его указанием на незначительность математически необходимого, а между тем при этом приеме опускаемого члена, или на сводящуюся к тому же возможность бесконечного или любого приближения и т. и., — это было указано в предыдущем примечании. Если бы в той действительной части математики, которая именуется дифференциальным исчислением, общие начала метода были отвлеченно изложены и иначе, чем это делалось доселе, то сказанные принципы и труд над ними оказались бы столь же излишними, так как в них самих есть нечто ложное и противоречивое.
Если мы исследуем своеобразие этой частя математики путем простого выделения того, что в ней существует, то её предметом окажутся а) уравнения, в которых любое число величин (мы можем здесь вообще остановиться на двух) связано в определенное целое так, что, во-первых, их определенность состоит в эмпирических величинах, как их постоянных пределах, и затем в способе связи как с последними, так и между собою, как это вообще имеет место в уравнениях; но так как для обеих величин дано лишь одно уравнение (тоже справедливо относительно многих уравнений со многими величинами в том смысле, что число уравнений всегда менее, чем число величин), то это уравнения неопределенные; а во-вторых, что одна из сторон, сообщающая величинам их определенность, состоит в том, что они (по крайней мере одна из них) даны в уравнении в степени высшей, чем первая степень.
Здесь нужно сделать несколько замечаний; во-первых, что величины по первому из вышеизложенных определений имеют вполне лишь свойства таких переменных величин, какие встречаются в задачах неопределенного анализа. Они неопределенны, но так, что если одной почему-либо сообщается вполне определенное т. е. числовое значение, то и другая становится определенною; таким образом, одна из них есть функция другой. Категории переменных величин, функций и т. п. имеют поэтому для той специфической определенности, о которой здесь идет речь, лишь формальное значение, так как этим категориям свойственна общность, не содержащая еще того специфического, к коему направлен весь интерес дифференциального исчисления, равно как из них нельзя вывести этого специфического и через анализ; это суть простые, незначительные, легкие определения, которые становятся трудными лишь постольку, поскольку в них включают для того, чтобы затем вывести из них, то, что им несвойственно, именно специфическое определение дифференциального исчисления. Что касается далее т. наз. постоянной величины, то о ней следует сказать, что она есть ближайшим образом безразличная эмпирическая величина, имеющая для переменных величин определяющее значение лишь по своему эмпирическому определенному количеству, как предел их минимума и максимума; но способ соединения постоянной величины с переменными есть один из моментов для природы той частной функции, которую образуют эти величины. Наоборот, постоянные величины суть сами функции; поскольку, например, прямая линия имеет значение параметра параболы, то это значение приводит к тому, что линия
