касательною; въ правилѣ Барроу это допущеніе является во всей своей наивной наготѣ. Простой способъ опредѣленія подкасательной былъ уже найденъ; способы Роберваля и Ферма сводятся къ подобному же; методъ послѣдняго находить наибольшія и наименьшія значенія функцій исходитъ изъ того же основанія и того же предѣла. Математическою страстью того времени было изобрѣтать такъ называемые методы, т.-е. правила этого рода, и притомъ держатъ ихъ въ тайнѣ, что было не только легко, но даже въ извѣстномъ отношеніи нужно и нужно именно потому, что было легко, именно потому, что изобрѣтатели находили лишь внѣшнее эмпирическое правило, а не методъ, т.-е. не нѣчто, выведенное изъ признанныхъ началъ. Такіе такъ называемые методы Лейбницъ воспринялъ отъ своего времени, а также и Ньютонъ, и послѣній принялъ ихъ непосредственно отъ своего учителя; они проложили новые пути въ наукѣ черезъ обобщеніе ихъ формы и приложимости, но при этомъ чувствовали потребность освободить пріемъ отъ вида совершенно внѣшняго правила и дать ему потребное оправданіе.
При ближайшемъ анализѣ метода истинный ходъ дѣйствія оказывается таковъ. Во-первыхъ, степенныя опредѣленія (само собою разумѣется перемѣнныхъ величинъ), содержащіяся въ уравненіи, приводятся къ ихъ первымъ производнымъ функціямъ. Тѣмъ самымъ измѣняется значеніе членовъ уравненія; уравненія уже болѣе не остается, но возникаетъ лишь отношеніе между первою производною функціею одной перемѣнной величины и такой же функціею другой; вмѣсто рх = у2 получается р:2у, вмѣсто 2ах — х2 = у2 получается (а — х): у, что впослѣдствіе и было обозначено, какъ отношеніе || .
Это уравненіе есть уравненіе кривой, а это отношеніе, вполнѣ зависимое отъ уравненія и выведенное изъ послѣдняго (какъ указано выше, по простому правилу), есть напротивъ линейное, равное отношенію между линіями; р:2у или (а — х):у суть сами отношенія прямыхъ линій кривой, координатъ и параметра; но тѣмъ самымъ знаніе еще не подвигается впередъ. Интересъ состоитъ въ томъ, чтобы узнать и о другихъ связанныхъ съ кривою линіяхъ, что имъ свойственно это отношеніе, найти равенство двухъ отношеній. Поэтому, во-вторыхъ, является вопросъ, какія прямыя линіи, опредѣленныя свойствами кривой, находятся въ такомъ отношеніи. Но это есть то, что было узнано уже ранѣе, а именно, что такое этимъ путемъ полученное отношеніе есть отношеніе ординаты къ подкасательной. Старые математики нашли это остроумнымъ геометрическимъ способомъ; то, что было открыто новыми изслѣдователями, есть эмпирическій пріемъ, состоящій въ выводѣ такого уравненія прямой, изъ котораго было бы видно то первое отношеніе, о коемъ уже извѣстно, что оно равно отношенію, содержащему линіи, въ данномъ случаѣ, подкасательныя, подлежащія опредѣленію. Этотъ выводъ уравненія понимался и исполнялся отчасти методически, путемъ дифференцированія, отчасти же были изобрѣтены воображаемыя приращенія координатъ и воображаемый образованный изъ нихъ и такого же приращенія касательной характеристическій треугольникъ, дабы пропорціональность отношенія, найденнаго черезъ пониженіе сте-
касательною; в правиле Барроу это допущение является во всей своей наивной наготе. Простой способ определения подкасательной был уже найден; способы Роберваля и Ферма сводятся к подобному же; метод последнего находить наибольшие и наименьшие значения функций исходит из того же основания и того же предела. Математическою страстью того времени было изобретать так называемые методы, т. е. правила этого рода, и притом держат их в тайне, что было не только легко, но даже в известном отношении нужно и нужно именно потому, что было легко, именно потому, что изобретатели находили лишь внешнее эмпирическое правило, а не метод, т. е. не нечто, выведенное из признанных начал. Такие так называемые методы Лейбниц воспринял от своего времени, а также и Ньютон, и послений принял их непосредственно от своего учителя; они проложили новые пути в науке через обобщение их формы и приложимости, но при этом чувствовали потребность освободить прием от вида совершенно внешнего правила и дать ему потребное оправдание.
При ближайшем анализе метода истинный ход действия оказывается таков. Во-первых, степенные определения (само собою разумеется переменных величин), содержащиеся в уравнении, приводятся к их первым производным функциям. Тем самым изменяется значение членов уравнения; уравнения уже более не остается, но возникает лишь отношение между первою производною функциею одной переменной величины и такой же функциею другой; вместо рх = у2 получается р:2у, вместо 2ах — х2 = у2 получается (а — х): у, что впоследствие и было обозначено, как отношение || .
Это уравнение есть уравнение кривой, а это отношение, вполне зависимое от уравнения и выведенное из последнего (как указано выше, по простому правилу), есть напротив линейное, равное отношению между линиями; р:2у или (а — х):у суть сами отношения прямых линий кривой, координат и параметра; но тем самым знание еще не подвигается вперед. Интерес состоит в том, чтобы узнать и о других связанных с кривою линиях, что им свойственно это отношение, найти равенство двух отношений. Поэтому, во-вторых, является вопрос, какие прямые линии, определенные свойствами кривой, находятся в таком отношении. Но это есть то, что было узнано уже ранее, а именно, что такое этим путем полученное отношение есть отношение ординаты к подкасательной. Старые математики нашли это остроумным геометрическим способом; то, что было открыто новыми исследователями, есть эмпирический прием, состоящий в выводе такого уравнения прямой, из которого было бы видно то первое отношение, о коем уже известно, что оно равно отношению, содержащему линии, в данном случае, подкасательные, подлежащие определению. Этот вывод уравнения понимался и исполнялся отчасти методически, путем дифференцирования, отчасти же были изобретены воображаемые приращения координат и воображаемый образованный из них и такого же приращения касательной характеристический треугольник, дабы пропорциональность отношения, найденного через понижение сте-
