первая дана не непосредственно, равно какъ не дано для себя, какую часть математическаго предмета слѣдуетъ считать за производную функцію, дабы черезъ приведеніе ея къ первоначальной найти другую часть или опредѣленіе требуемой' задачею величины. Обычный — методъ, который, какъ сказано, сейчасъ же представляетъ извѣстныя части предмета, какъ безконечно-малыя, въ формѣ производной функціи, находимой черезъ дифференцированіе первоначально даннаго уравненія предмета (напр, при выпрямленіи кривой безконечно-малыя абсциссы и ординаты), но за то принимаетъ такія части, которыя можно привести въ связь съ предметомъ задачи (въ примѣрѣ дуги), представляемомъ такъ же, какъ безконечно-малый, установленную элементарною математикою, вслѣдствіе чего, если эти части извѣстны, то опредѣляется и та часть, величина которой есть искомое; такъ, для выпрямленія кривой пользуются вышеуказанными тремя безконечно-малыми, соединяемыми въ уравненіе прямоугольнаго треугольника, для ея квадратуры — ординатою, соединяемою съ безконечно-малыми абсциссою въ произведеніе при чемъ поверхность совершенно ариѳметически считается произведеніемъ линій. Переходъ отъ такихъ такъ называемыхъ элементовъ поверхности, дуги и т. п. къ величинѣ самихъ поверхностей, дуги и т. п., считается за тѣмъ лишь восхожденіемъ отъ безконечнаго выраженія къ конечному или суммою безконечно-многихъ элементовъ, изъ которыхъ должна состоять искомая величина.
Можно поэтому сказать лишь поверхностно, что интегральное исчисленіе есть только обратная, но вообще болѣе трудная проблема дифференціальнаго исчисленія; реальный же интересъ интегральнаго исчисленія направляется напротивъ исключительно на взаимное отношеніе первоначальной и производной функціи въ конкретныхъ предметахъ.
Лагранжъ и въ этой части исчисленія приложилъ столь же мало старанія къ разрѣшенію трудности проблемы простымъ способомъ, основаннымъ на этихъ прямыхъ предположеніяхъ. Для разъясненія сущности дѣла полезно привести небольшое число примѣровъ съ цѣлью ближайшаго ознакомленія съ его пріемомъ. Онъ ставитъ себѣ задачею доказать для себя, что между частными опредѣленіями нѣкотораго математическаго цѣлаго, напр., кривой линіи, существуетъ отношеніе первоначальной къ производной функціи. Но этого нельзя достигнуть въ разсматриваемой области прямымъ путемъ, основанныхъ на природѣ самого отношенія, которое въ математическомъ предметѣ приводитъ въ связь кривыя линія съ прямыми, линейныя протяженія и ихъ функціи съ поверхностными протяженіями и ихъ функціями и т. д., т.-е. качественноразличное: поэтому опредѣленіе можно понимать, лишь какъ средину между бо́льшимъ и меньшимъ. Тѣмъ самымъ мы вновь возвращаемся къ формѣ приращенія съ-(-и —, и бодрое: developpons вступаетъ въ свою силу; но уже ранѣе было указано, что приращенія имѣютъ здѣсь лишь ариѳметическое, конечное значеніе. Изъ соображенія того условія, что искомая величина болѣе, чѣмъ одинъ легко находимый предѣлъ, и менѣе, чѣмъ другой, выводится, напримѣръ, что^функція ординаты есть первая производная функція функціи плоскости.
первая дана не непосредственно, равно как не дано для себя, какую часть математического предмета следует считать за производную функцию, дабы через приведение её к первоначальной найти другую часть или определение требуемой' задачею величины. Обычный — метод, который, как сказано, сейчас же представляет известные части предмета, как бесконечно-малые, в форме производной функции, находимой через дифференцирование первоначально данного уравнения предмета (напр, при выпрямлении кривой бесконечно-малые абсциссы и ординаты), но за то принимает такие части, которые можно привести в связь с предметом задачи (в примере дуги), представляемом так же, как бесконечно-малый, установленную элементарною математикою, вследствие чего, если эти части известны, то определяется и та часть, величина которой есть искомое; так, для выпрямления кривой пользуются вышеуказанными тремя бесконечно-малыми, соединяемыми в уравнение прямоугольного треугольника, для её квадратуры — ординатою, соединяемою с бесконечно-малыми абсциссою в произведение при чём поверхность совершенно арифметически считается произведением линий. Переход от таких так называемых элементов поверхности, дуги и т. п. к величине самих поверхностей, дуги и т. п., считается за тем лишь восхождением от бесконечного выражения к конечному или суммою бесконечно-многих элементов, из которых должна состоять искомая величина.
Можно поэтому сказать лишь поверхностно, что интегральное исчисление есть только обратная, но вообще более трудная проблема дифференциального исчисления; реальный же интерес интегрального исчисления направляется напротив исключительно на взаимное отношение первоначальной и производной функции в конкретных предметах.
Лагранж и в этой части исчисления приложил столь же мало старания к разрешению трудности проблемы простым способом, основанным на этих прямых предположениях. Для разъяснения сущности дела полезно привести небольшое число примеров с целью ближайшего ознакомления с его приемом. Он ставит себе задачею доказать для себя, что между частными определениями некоторого математического целого, напр., кривой линии, существует отношение первоначальной к производной функции. Но этого нельзя достигнуть в рассматриваемой области прямым путем, основанных на природе самого отношения, которое в математическом предмете приводит в связь кривые линия с прямыми, линейные протяжения и их функции с поверхностными протяжениями и их функциями и т. д., т. е. качественноразличное: поэтому определение можно понимать, лишь как средину между бо́льшим и меньшим. Тем самым мы вновь возвращаемся к форме приращения с-(-и —, и бодрое: developpons вступает в свою силу; но уже ранее было указано, что приращения имеют здесь лишь арифметическое, конечное значение. Из соображения того условия, что искомая величина более, чем один легко находимый предел, и менее, чем другой, выводится, например, что^функция ординаты есть первая производная функция функции плоскости.
