Страница:Дифференциальное и интегральное исчисление (Коши).djvu/22

УРОКЪ ТРЕТІЙ.

О производныхъ функціяхъ одной перемѣнной.

Положимъ, что функція $y=f(x)$ есть непрерывная между двумя данными предѣлами перемѣнной $x$, и что сей перемѣнной дана величина содержащаяся между сими самыми предѣлами, то безконечно-малое приращеніе получаемое измѣняемымъ количествомъ, произведетъ безконечно же малое приращеніе самой функціи. Слѣдственно, полагая $\Delta x=i$, числитель и знаменатель отношенія разностей

$${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x+i)-f(x)}{i}}$$

(1.)

будутъ количества безконечно-малыя. Но, между тѣмъ какъ числитель и знаменатель будутъ безпрестанно и въ одно время приближаться къ нулю, самая дробь будетъ стремиться къ другому, или положительному, или отрицательному предѣлу. Сей предѣлъ, для каждой данной величины $x$, имѣетъ опредѣленную же величину, которая впрочемъ измѣняется вмѣстѣ съ $x$. Такъ, на примѣръ, полагая $f(x)=x^{m}$, гдѣ $m$ означаетъ цѣлое число, отношеніе безконечно-малыхъ разностей будетъ

$${\frac {(x+i)^{m}-x^{m}}{i}}=mx^{m-1}+{\frac {m(m-1)}{1.2}}x^{m-2}i+....+i^{m-1}$$

а предѣлъ онаго количество $mx^{m-1}$, которое есть новая функція перемѣнной $x$. Точно также и вообще; только видъ новой функціи, которая будетъ служить предѣломъ отношенію ${\frac {f(x+i)-f(x)}{i}}$